Methodus inveniendi lineas curvas

36 DE METHODO MAX. ET MIN. $N - \frac{dP}{dx} = 0$. Quoniam autem in Problemate praecedente annotavimus, si $Z$ tantum fuerit functio ipsarum $x$ & $y$, tum Methodo vulgari solutionem absolvi posse: nam ut $\int Zdx$ fit maximum minimumve, etiam $Zdx$, ac proinde $Z$ tale esse oportet, respectu ad $x$ habito; & hanc ob rem differentiale ipsius $dZ$, sumto $x$ constante, nihilo aequale positum dabit aequationem pro curva quaesita. Similis Methodus succederet in praesente Problemate, si modo in differentiali ipsius $Z$, quod oritur posito $x$ constante, atque est $Ndy + Pdp$, relatio inter differentialia $dy$ & $dp$ pateret, ut per $dy$ divisio institui, atque valor finitus nihilo aequandus erui posset. Cum autem istam relationem inter $dy$ & $dp$, sine qua Methodus maximorum & minimorum vulgaris adhiberi nequit, a priori definire etiamnum non liceat, poterimus eam a posteriori assignare: Quia enim inventa est aequatio pro curva quaesita haec $N - \frac{dP}{dx} = 0$; intelligitur, hanc ex illa $Ndy + Pdp$, seu $N + \frac{Pdp}{dy}$ oriri potuisse, si constitisset esse $-\frac{dP}{dx} = \frac{Pdp}{dy}$, seu $0 = dP + \frac{Pdp}{dy}$; ob $dy = pdx$. Quocirca relatio illa inter differentialia $dy$ & $dp$ ita erit comparata, ut contineatur aequatione $pdP + Pdp = 0$; quae proprietas ad hanc redit ut considerari debeat $Pp$ tanquam constans. Hinc ad Problemata resolvenda, in quibus curva quaeritur habens valorem formulae $\int Zdx$ maximum vel minimum, existente $dZ = Mdx + Ndy + Pdp$; valor ipsius $Z$ debet differentiari, atque in differentiali $Mdx + Ndy + Pdp$, loco $Mdx$ poni debeat $0$, $Ndy$ immutatum relinqui, tum vero loco $Pdp$ scribi $-pdP$; & id quod emergit nihilo aequale poni. Hoc enim pacto obtinebitur $Ndy - pdP = 0$; quae aequatio, ob $dy = pdx$, transit in hanc $N - \frac{dP}{dx} = 0$, quae est ea ipsa quam invenimus. Desideratur itaque Methodus a resolutione geometrica & lineari libera, qua pateat in tali investigatione maximi minimive loco $Pdp$ scribi debere $-pdP$. PRO-