Methodus inveniendi lineas curvas

AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA. 33 PROPOSITIO IV. PROBLEMA. 40. Si $Z$ fuerit functio ipsarum $x, y, p$ & $q$. ita ut sit $dZ = Mdx+Ndy+Pdp+Qdq$; invenire, inter omnes curvas eidem abscissae respondentes, eam in qua sit $\int Zdx$ maximum vel minimum. SOLUTIO. Valor formulae integralis $\int Zdx$ evolvitur in binas has series $Zdx+Z'dx+Z''dx+Z'''dx+\&c.$ & $Z,dx+Z,'dx+Z,,''dx+\&c.$ quarum aggregatum maximum erit vel minimum, si singulorum terminorum valores differentiales, qui oriuntur augendo applicatam $y$ particula $n\nu$, colligantur, & nihilo aequentur. Tali autem applicatae $y$ incremento mutationem patiuntur litterae $p, p', p''; q, q', q''$; adeoque ii tantum termini in quibus istae litterae insunt, hoc est termini $Z,dx, Z'dx$ & $Z,dx$. Ad horum terminorum augmenta ex translatione puncti $n$ in $n'$, orta, invenienda, differentientur ii, eritque $d. Zdx = dx(Mdx + Ndy + Pdp + Qdq)$ $d. Z'dx = dx(M'dx + N'dy' + P'dp' + Q'dq')$ $d. Z,dx = dx(M,dx + N,dy, + P,dp, + Q,dq,)$ Jam vero, quia abscissa $x$ ab illa translatione non afficitur, ponendum est ubique $dx=0$: deinde vero reliquorum differentialium valores ex translatione puncti $n$ in $n'$, orti, per primam hujus Capitis Propositionem ita se habebunt: $dy = +n\nu$ | $dp = -\frac{n'\nu}{dx}$ | $dq = +\frac{n''\nu}{dx^2}$ $dy' = 0$ | $dp' = +\frac{n\nu}{dx}$ | $dq' = -\frac{2n'\nu}{dx^2}$ $dy, = 0$ | $dp, = 0$ | $dq, = +\frac{n\nu}{dx^2}$ Euleri De Max. & Min. H His