Methodus inveniendi lineas curvas

60 DE METHODO MAX. ET MIN. $Qdq=0$, orietur $dZ-pdP-Pdp+\frac{pddQ}{dx}-Qdq=0$; cujus integrale est $Z-Pp+\frac{pdQ}{dx}-Qq=C$. COROLL. VI. 47. Si fuerit & $M=0$ & $N=0$; erit primo, ob $N=0$, ut supra, $C-P+\frac{dQ}{dx}=0$. Deinde cum fit $dZ=Pdp+Qdq$, multiplicetur illa aequatio per $dp$, seu $qdx$, erit $Cdp-Pdp+qdQ=0$: addatur $Pdp+Qdq-dZ=0$; prodibit $Cdp+Qdq+qdQ-dZ=0$, cujus integralis est $Cp+D+Qq-Z=0$. SCHOLION II. 48. Si nexum aequationis inventae pro curva quaesita, quae habeat $\int Zdx$ maximum minimumve, cum differentiali ipsius $Z$ inspiciamus; determinare licebit relationem inter differentialia $dy$, $dp$ & $dq$, ut differentiale ipsius $Z$ nihilo aequale positum, praebeat aequationem pro curva quaesita. Cum enim fit $dZ=Mdx+Ndy+Pdp+Qdq$; comparetur cum hac forma aequatio pro curva, $N-\frac{dP}{dx}+\frac{ddQ}{dx^2}=0$, seu haec per $dy=pdx$ multiplicata, quae erit $Ndy-pdP+\frac{pddQ}{dx}=0$; unde patet, in differentiali ipsius $Z$, loco $Mdx$ scribi debere $0$, at terminum $Ndy$ invariatum relinqui, porro loco $Pdp$ scribendum esse $-pdP$, ac loco $Qdq$ poni debere $\frac{pddQ}{dx}$. Verum quoad haec a priori pateant, praestabit formam aequationis inventae retinere, quippe quae facile memoria teneri potest. Caeterum notandum est Problemata huc pertinentia omnino esse nova, neque adhuc ab iis qui alias de hoc argumento scripserunt pertractata. Alias enim Scriptores maximi minimive formulas contemplari non consueverunt, nisi in quibus ad summum differen-