Methodus inveniendi lineas curvas

76 DE METHODO MAX. ET MIN. SCHOLION I. 62. Ex gradu differentialitatis igitur, ad quem aequatio pro curva inventa assurgit, vel ex numero punctorum per quae curvam satisfacientem transire oportet, hujusmodi Problemata commode in Classes distribui poterunt. Ad primam igitur Classem ea referentur Problemata, in quibus absolute quaeritur linea curva, quae pro data abscissa habeat valorem $\int Z dx$ maximum vel minimum; talia Problemata cum in Propositione secunda continentur, tum etiam in tertia, iis casibus quos §. §. 26 & 27 exposuimus; his scilicet casibus solutio praebet curvam determinatam quaesito satisfacientem. Classis secunda ea complectitur Problemata, quorum solutio ad aequationem differentialem secundi gradus perducit: haecque duo puncta ad sui determinationem poscunt; & ita proponi debent, ut inter omnes curvas per data duo puncta transeuntes ea definiatur, in qua fit $\int Z dx$ maximum vel minimum: cujusmodi Problemata in Propositione tertia soluta dedimus. Porro ad tertiam Classem pertinent Problemata in Propositione quarta tractata, quae ita se habent; ut inter omnes curvas per quatuor data puncta transeuntes determinetur ea quae habeat $\int Z dx$ maximum vel minimum. Simili modo quarta Classis postulat ad determinationem sex puncta, quinta octo, & ita porro, quas Classes omnes in praesente Problemate sumus complexi. Caeterum etsi aequatio inventa ad tantum differentialium gradum ascendit, tamen saepius generaliter integrationem unam vel plures admittit, cujusmodi casus in praecedentibus Problematibus nonnullos exhibuimus. Hanc ob rem videamus etiam quibus casibus aequatio nostra generalis integrationem, vel unam vel plures, admittat; ut in allatis Exemplis statim videre liceat, utrum ea in his casibus contineantur an secus. Hujusmodi autem casus potissimum sunt duo, in quorum altero est $N=0$, in altero $M=0$, a quibus deinceps alii casus pendent, quos hic evolvemus. CA-