Methodus inveniendi lineas curvas

88 DE METHODO MAX. ET MIN. ut hactenus, sive determinate sive indeterminate, sed tantum per aequationem differentialem, cujus integratio omnino non potest absolvi: cujusmodi quaestio est, si quaeratur curva, in qua minimum fit expressio $\int \frac{dx\sqrt{(1+pp)}}{\sqrt{v}}$, existente $dv=gdx - b\ddot{v}dx\sqrt{(1+pp)}$: atque ejusmodi quaestionum resolutionem in hoc Capite quoque trademus. PROPOSITIO II. PROBLEMA. Fig. 4. 6. Si Z fuerit functio quantitatis indeterminatae $\Pi$, ita ut sit $dZ = Ld\Pi$, fitque $\Pi = \int [Z]dx$, existente $d[Z] = [M]dx + [N]dy + [P]dp + [Q]dq + [R]dr + \&c.$ invenire curvam az quae pro data abscissa AZ habeat valorem formulae $\int Zdx$ maximum vel minimum. SOLUTIO. Pofita abscissa $AH=x$, applicata $Hh=y$, fit tota abscissa AZ, cui maximum minimumve respondere debet, $=a$, diviso igitur spatio HZ in elementa innumera infinite parva HI, IK, KL, LM, &c. debebit esse $Zdx+Z'dx+Z''dx+\&c.$ donec ad extremum punctum Z perveniatur, maximum minimumve. Ad hoc efficiendum, quaerendi sunt valores differentiales quos singuli hi termini a translatione puncti n in $\nu$ accipiunt, quorum summa, nihilo aequalis posita, dabit aequationem pro curva quaesita. Quoniam autem mutationem ab n oriundam non ultra H versus A porrigi ponimus, erit termini $\int Zdx$ valor differentialis nullus. Reliquorum terminorum valores differentiales reperientur, si ii differentientur, atque in differentialibus scribantur ea incrementa, quae in Propositione praecedente invenimus, ex translatione puncti n in $\nu$ oriri. Erit autem $d.Zdx$