Methodus inveniendi lineas curvas

AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA. 91 COROLL. I. 7. Quoniam $H-\int Ldx$ est valor formulæ $\int Ldx$ respondens abscissæ portioni $AZ=a-x$, si ponatur $AZ=a-x=u$, erit $\int Ldu$ ille ipse valor $H-\int Ldx$, quo opus est; siquidem $\int Ldu$ ita integretur, ut evanescat posito $u=0$. COROLL. II. 8. Quodsi igitur abscissarum initium capiatur in puncto Z; ita ut abscissa ZH ponatur $=u$, utque ubique ponatur $x=a-u$, prodibit æquatio pro curva inter coordinatas $u$ & $y$; hujusque curvæ ea portio quæsito satisfaciet, quæ respondet abscissæ $AZ=a$. Interim notandum est cum in ipsa maximi minimive formula $\int Zdx$, tum in $\int [Z]dx$, abscissarum initium in puncto A capi debere. COROLL. III. 9. Si ergo quæratur curva ad datam abscissam AZ relata; in qua maximum minimumve debeat esse $\int Zdx$; sitque Z functio quæcunque ipsius $n=\int [Z]dx$, existente $dZ=Ldn$ & $d[Z]=[M]dx+[N]dy+[P]dp+[Q]dq+[R]dr+\&c.$ habebitur pro curva quæsita ista æquatio: $0=[N]\int Ldu - \frac{d.[P]\int Ldu}{dx} + \frac{dd.[Q]\int Ldu}{dx^2} - \frac{d^3.[R]\int Ldu}{dx^3} + \&c.$ ubi est $u=a-x$, & $\int Ldu$ denotat valorem formulæ $\int Ldx$ portioni abscissæ $HZ=u$ respondentem. COROLL. IV. 10. Possunt ergo vel bina abscissarum initia A & Z, binæque abscissæ $AH=x$, & $ZH=u$ considerari, quarum illa in integrali $\int [Z]dx$ seu $n$, hæc vero in integrali $\int Ldx$ spectari debet, vel unica tantum abscissa $AH=x$; quo casu, loco $\int Ldu$ M 2