Introductio in analysin infinitorum

DE SERIEBUS RECURRENTIBUS. 175 CAP. XIII. CAPUT XIII. De Seriebus recurrentibus. 211. Ad hoc Serierum genus, quas MOIVRÆUS recurrentes vocare solet, hic refero omnes Series quæ ex evolutione Functionis cujusque fractæ per divisionem actualem instituta nascuntur. Supra enim jam ostendimus has Series ita esse comparatas, ut quivis terminus ex aliquot præcedentibus secundum legem quandam constantem determinetur, quæ lex a denominatore Functionis fractæ pendet. Cum autem nunc Functionem quamcunque fractam in alias simpliciores resolvere docuerim, hinc Series quoque recurrens in alias simpliciores resolvetur. In hoc igitur Capite propositum est Serierum recurrentium cujusvis gradus resolutionem in simpliciores exponere. 212. Sit proposita ista Functio fracta genuina $\frac{a + bz + czz + dz^3 + \&c.}{1 - \alpha z - \beta zz - \gamma z^3 - \delta z^4 - \&c.}$ quæ per divisionem evolvatur in hanc Seriem recurrentem $A + Bz + Cz^2 + Dz^3 + Ez^4 + Fz^5 + \&c.$, cujus coëfficientes quemadmodum progrediantur, supra est ostensum. Quod si jam Functio illa fracta resolvatur in fractiones suas simplices, & unaquæque in Seriem recurrentem evolvatur, manifestum est summam omnium harum Serierum ex fractionibus partialibus ortarum æqualem esse debere Seriei recurrenti. $A + Bz + Cz^2 + Dz^3 + Ez^4 + Fz^5 + \&c.$ Fractiones ergo partiales, quas supra invenire docuimus, dabunt