Introductio in analysin infinitorum

224 DE SERIEBUS EX LIB. I. $1+Az+Bz^2+Cz^3+Dz^4+Ez^5+Fz^6+\text{&c.}$ atque manifestum est coëfficientes $A, B, C, D, E, \text{&c.}$, sequenti modo ex numeris $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon, \text{&c.}$, componi, ut fit $A =$ summæ singulorum $B =$ summæ Factorum ex binis $C =$ summæ Factorum ex ternis $D =$ summæ Factorum ex quaternis &c. non exclusis Factoribus iisdem. 271. Posito ergo $z = 1$, ista expressio $\frac{1}{(1-\alpha)(1-\beta)(1-\gamma)(1-\delta)(1-\varepsilon)\text{&c.}}$ æquabitur unitati cum Serie numerorum omnium, qui ex his $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \varepsilon, \zeta, \text{&c.}$, vel sumendis singulis, vel duobus pluribusve in se multiplicandis, oriuntur, non exclusis æqualibus. Hoc ergo differt ista numerorum Series ab illa, quæ (§.265.) prodiit, quod ibi Factores tantum diversi sumi debebant, hic autem idem Factor bis pluriesve occurrere possit. Hic scilicet omnes numeri occurrunt, qui per multiplicationem ex his $\alpha, \beta, \gamma, \delta, \text{&c.}$, provenire possunt. 272. Hanc ob rem Series semper ex terminorum numero infinito constat, sive Factorum numerus fuerit infinitus, sive finitus. Sic erit $\frac{1}{1-\frac{1}{2}} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}+\text{&c.}$, ubi omnes numeri adsunt, qui ex binario solo per multiplicationem oriuntur; seu omnes binarii Potestates. Deinde erit $\frac{1}{(1-\frac{1}{2})(1-\frac{1}{3})} = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{12}+\frac{1}{16}+\frac{1}{18}+\text{&c.}$, ubi