Introductio in analysin infinitorum

266 DE PARTITIONE LIB. I. possit ex numeris $1, 2, 3, \dots m$. Subtrahatur posterior expressio a priori, ac remanebit $\frac{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \dots (1-x^{m-1})}$ atque manifestum est Seriei hinc ortae terminum generalem futurum esse $(N-M)x^n$; quare coëfficiens $N-M$ indicabit quot variis modis numerus $n$ per additionem produci possit ex numeris $1, 2, 3, \dots (m-1)$. 318. Hinc ergo sequentem regulam nanciscimur. Sit $L$ numerus modorum, quibus numerus $n$ per additionem produci potest ex numeris $1, 2, 3, \dots (m-1)$. Sit $M$ numerus modorum, quibus numerus $n-m$ per additionem produci potest ex numeris $1, 2, 3, \dots m$. Sitque $N$ numerus modorum, quibus numerus $n$ per additionem produci potest ex numeris $1, 2, 3, \dots m$. His positis, erit, ut vidimus, $L=N-M$; ideoque $N=L+M$. Quod si ergo jam invenerimus quot variis modis numeri $n$ & $n-m$ per additionem produci queant, ille ex numeris $1, 2, 3, \dots (m-1)$ hic vero ex numeris $1, 2, 3, \dots m$; hinc addendo cognoscemus, quot variis modis numerus $n$ per additionem produci queat ex numeris $1, 2, 3, \dots m$. Ope hujus theorematis a casibus simplicioribus, qui nihil habent difficultatis, continuo ad magis compositos progredi licebit, hocque modo tabula hic annexa est computata, * cujus usus ita se habet. Si quaeratur quot variis modis numerus $50$ in $7$ partes inaequales dispertiri possit; sumatur in prima columna verticali numerus $50 - \frac{7 \cdot 8}{2} = 22$, in horizontali autem suprema numerus romanus VII; atque numerus in angulo positus $522$ indicabit modorum numerum quaesitum. Sin autem quaeratur, quot variis modis numerus $50$ in $7$ partes, sive aequales sive inaequales, dispertiri possit, in prima columna * Vide Tab. pag. 275.