Introductio in analysin infinitorum

IN RADICIBUS ÆQUATION. INDAGAND. 283 poterit. Quia præterea in hoc exemplo radix $1 - \sin{70^\circ}$ multo minor est, quam binæ reliquæ, etiam facile per Seriem recurrentem proxime cognoscetur. EXEMPLUM IV. Invenire radicem minimam aequationis $o = 8y^3 - 24y^2 + 8y - 1$, quæ ab unitate subtracta relinquet Sinum anguli $70^\circ$. Ponatur $y = \frac{1}{2}z$, ut fit $o = z^3 - 6z^2 + 9z - 1$, cujus radix minima invenietur per Seriem recurrentem, cujus scala relationis est $9, -6, +1$, pro radice autem maxima invenienda scala relationis sumi deberet $6, -9, +1$. Pro minima ergo formetur hæc Series $1, 1, 1, 4, 31, 256, 2122, 17593; 145861; \&c.$, erit ergo proxime $z = \frac{17593}{145861} = 0,12061483$ & $y = 0,06030741$, atque $\sin{70^\circ} = 1 - y = 0,93969258$, quæ a veritate ne in ultima quidem figura discrepat. Ex hoc ergo exemplo intelligitur quantam utilitatem idonea transformatio aequationis ope substitutionis ad inventionem radicum afferat, & quod hoc pacto methodus tradita non solum ad maximas minimasve radices adstringatur, sed etiam omnes radices exhibere queat. 341. Cognita ergo jam quacunque aequationis propositæ radice proxime, ita ut, verbi gratia, numerus $k$ quam minime a quapiam radice differat, ponatur $x - k = y$ seu $x = y+k$, hocque modo prodibit aequatio, cujus radix minima erit $= x - k$, quæ igitur si per Series recurrentes indagetur, quod facillime fiet, quia hæc radix multo minor erit, quam ceteræ, si ea ad $k$ addatur habebitur radix vera ipsius $x$, pro aequatione proposita. Hoc vero artificium tam late patet, ut etiamsi aequatio contineat radices imaginarias, usum suum retineat. 342. Imprimis autem fine hoc artificio radix cognosci nequit, Nn 2