Introductio in analysin infinitorum

284 DE USU SERIERUM RECURRENTIUM LIB. I. quit, cui datur alia æqualis sed signo contrario affecta. Scilicet, si æquatio cujus maxima radix $p$, eadem radicem habeat $-p$, tum, etiamsi Series recurrens in infinitum continuetur, tamen radix hæc $p$ nunquam obtinebitur. Sit, ut hoc exemplo illustremus, proposita æquatio $x^3 - x^2 - 5x + 5 = 0$, cujus maxima radix est $\sqrt{5}$, præter quam vero inest quoque $-\sqrt{5}$. Si igitur modo ante præscripto, pro radice maxima invenienda, utamur, atque Seriem recurrentem formemus ex scala relationis $1, +5, -5$, quæ erit $1, 2, 3, 8, 13, 38, 63, 188, 313, 938, 1563, \&c.$, ubi ad nullam rationem constantem pervenitur. Termini vero alterni rationem æquabilem induunt, quorum si quisque per præcedentem dividatur, reperietur quadratum maximæ radicis, sic enim est proxime $5 = \frac{1563}{313} = \frac{938}{188} = \frac{313}{63}$. Quoties ergo termini tantum alterni sese ad rationem constantem componunt, toties quadratum radicis quæsitæ proxime obtinetur. Ipsa autem radix $x = \sqrt{5}$ invenitur ponendo $x = y + 2$ unde fit $1 - 3y - 5yy - y^3 = 0$, cujus radix minima cognoscetur ex Serie $1, 1, 1, 9, 33, 145, 609, 2585, 10945, \&c.$, erit enim proxime $= \frac{2585}{10945} = 0,2361$, at $2,2361$ est proxime $=\sqrt{5}$, quæ est radix maxima æquationis. 343. Quanquam numerator fractionis, ex qua Series recurrens formatur, a nostro arbitrio pendet, tamen idonea ejus constitutio plurimum confert, ut valor radicis cito vero proxime exhibeatur. Cum enim assumtis, ut supra, Factoribus denominatoris (334.), fit terminus generalis Seriei recurrentis $= z^n(Ap^n + Bq^n + Cr^n + \&c.)$, isti coëfficientes $A, B, C, \&c.$, per numeratorem fractionis determinantur; unde fieri potest, ut $A$ sive magnum sive parvum valorem obtineat: priori casu radix maxima $p$ cito reperitur, posteriore vero tarde. Quin etiam numerator ita accipi potest ut $A$ prorsus evanescat, quo