Introductio in analysin infinitorum

IN RADICIBUS ÆQUATION. INDAGAND. 285 quo casu, etiamfi Series in infinitum continuetur, tamen nunquam radicem maximam $p$ præbebit. Hoc autem evenit si numerator ita accipiatur, ut ipse eundem habeat Factorem $1-pz$, sic enim ex computo penitus tolletur. Sic, si proponatur æquatio $x^3 - 6x^2 + 10x - 3 = 0$, cujus maxima radix est $=3$, indeque formetur fractio $$ \frac{1-3z}{1-6z+10z^2-3z^3} $$ ut Seriei recurrentis fit scala relationis $6, -10, +3$ $$ 1, 3, 8, 21, 55, 144, 377, \text{&c.}, $$ cujus termini prorsus non convergunt ad rationem, $1:3$. Eadem enim Series oritur ex fractione $\frac{1}{1-3z+z^2}$, ac propterea maximam radicem æquationis $x^2 - 3x + 1 = 0$ exhibet. 344. Quin etiam numerator ita assumi potest, ut per Seriem recurrentem quævis radix æquationis reperiatur, quod fiet si numerator fuerit productum ex omnibus Factoribus denominatoris præter eum, cui respondet radix quam velimus. Sic, si in priori exemplo sumatur numerator $1-3z+z^2$, fractio $$ \frac{1-3z+z^2}{1-6z+10z^2-3z^3} $$ dabit hanc Seriem recurrentem $1, 3, 9, 27, 81, 243, \text{&c.}$, quæ, cum sit geometrica, statim monstrat radicem $x=3$. Fractio enim illa æqualis est huic simplici $$ \frac{1}{1-3z} $$ Hinc apparet, si termini initiales, quos pro lubitu assumere licet, ita accipiantur, ut progressionem geometricam constituant, cujus Exponens æquetur uni radici æquationis, tum totam Seriem recurrentem fore geometricam, ideoque eam ipsam radicem esse exhibituram, etiamfi neque fit maxima neque minima. 345. Ne igitur, dum quærimus radicem vel maximam vel minimam, præter expectationem nobis alia radix per Seriem recurrentem exhibeatur, ejusmodi numerator debet eligi, qui Nn 3 cum CAP. XVII.