Introductio in analysin infinitorum

286 DE USU SERIERUM RECURRENTIUM LIB. I. cum denominatore nullum Factorem habeat communem, quod fiet si pro numeratore unitas accipiatur, unde terminus primus Seriei erit $= 1$, ex quo solo secundum scalam relationis sequentes omnes definiantur. Hocque modo semper certe radix aequationis vel maxima vel minima, prout fuerit propositum, eruetur. Sic, proposita aequatione $y^3 * - 3y + 1 = 0$, cujus radix maxima desideratur, ex scala relationis $0, +3, -1$ incipiendo ab unitate sequens oritur Series recurrens $1 - 0 + 3 - 1 + 9 - 6 + 28 - 27 + 90 - 109 + 297 - 517 + 1000 - 1848 + 3517 - 6544 + \&c.$, quae manifesto ad rationem constantem convergit, ostenditque radicem maximam esse negativam, atque proxime $y = \frac{-6544}{3517} = -1,860676$, quae esse debebat $= -1,86793852$. Ratio autem supra est allata, cur tam lente ad verum valorem appropinquetur, propterea quod altera radix non multo sit minor maxima, simulque sit affirmativa. 346. His probe perpensis, quae cum in genere tum ad exempla allata monuimus, summa utilitas hujus methodi ad investigandas aequationum radices luculenter perspicietur; artificia vero, quibus operatio contrahi, eoque promtior reddi queat, satis quoque sunt indicata; ita ut nihil insuper addendum esset, nisi casus, quibus aequatio vel radices habet aequales vel imaginarias, evolvendi superessent. Ponamus ergo denominatorem fractionis $\frac{a + bz + cz^2 + dz^3 + \&c.}{1 - \alpha z - \beta z^2 - \gamma z^3 - \delta z^4 - \&c.}$ habere Factorem $(1-pz)^2$, reliquis Factoribus existentibus $1-qz$, $1-rz$, \&c.. Seriei ergo recurrentis hinc natae terminus generalis erit $= z^n((n+1)Ap^n + Bp^n + Cq^n + \&c.)$, quae cujusmodi valorem sit adeptura, si $n$ fuerit numerus vehemens.