Introductio in analysin infinitorum

IN GENERE. 13 num parium erit bona, atque ad ejusmodi Functiones forman- CAP. I. das idonea. 21. Functio impar ipsius $z$ est ejusmodi Functio, cujus valor, si loco $z$ ponatur $-z$, fit quoque negativus. Hujusmodi Functiones ergo impares erunt omnes potestates ipsius $z$, quarum exponentes sunt numeri impares, ut $z^1$, $z^3$, $z^5$, $z^7$; &c. item $z^{-1}$, $z^{-3}$, $z^{-5}$; &c. tum vero etiam $z^{\frac{m}{n}}$ erit Functio impar, si ambo numeri, $m$ & $n$ fuerint numeri impares. Generatim vero omnis expressio ex hujusmodi potestatibus composita erit Functio impar ipsius $z$; cujusmodi sunt, $az + bz^3$: $az + az^{-1}$; item $z^3 + A z^{\frac{3}{5}} + bz^{-\frac{5}{7}}$; &c. Harum autem Functionum natura & inventio ex Functionibus paribus facilius perspicietur. 22. Si Functio par ipsius $z$ multiplicetur per $z$ vel per ejusdem Functionem imparem quamcunque, productum erit Functio impar ipsius $z$. Sit $P$ Functio par ipsius $z$, quae idcirco manet eadem si loco $z$ ponatur $-z$; quod si ergo in producto $Pz$, ponatur $-z$ loco $z$, prodibit $-Pz$; unde $Pz$ erit Functio impar ipsius $z$. Sit jam $P$ Functio par ipsius $z$, & $Q$ functio impar ipsius $z$; atque ex Definitione patet si loco $z$ ponatur $-z$, valorem ipsius $P$ manere eundem, at valorem ipsius $Q$ abire in sui negativum $-Q$; quare productum $PQ$, posito $-z$ loco $z$, abibit in $-PQ$, hoc est in sui negativum; eritque ideo $PQ$ Functio impar ipsius $z$. Sic cum sit $a + \sqrt{a^2+z^2}$ functio par, & $z^3$ Functio impar ipsius $z$, erit productum $az^3 + z^3\sqrt{a^2+z^2}$ Functio impar ipsius $z$; similique modo $z \times \frac{a+bz^2}{\alpha+\beta z^2} = \frac{az+bz^3}{\alpha+\beta z^2}$ Functio impar ipsius $z$. Ex his vero etiam intelligitur, si duarum Functionum $P$ & $Q$, quarum altera $P$ est par, altera $Q$, impar, altera per alteram dividatur, quotum fore Functionem imparem; erit ergo $\frac{P}{Q}$ itemque $\frac{Q}{P}$ Functio impar ipsius $z$. B 3 23. Si