Introductio in analysin infinitorum

16 DE TRANSFORMATIONE LIB. I. alio modo eandem Functionem exprimendi, quemadmodum ex Algebra constat eandem quantitatem per plures diversas formas exprimi posse. Hujusmodi transformationes sunt, si loco hujus Functionis $2-3z+zz$ ponatur $(1-z)(2-z)$, vel $(a+z)^3$ loco $a^3+3aaz+3azz+z^3$, vel $\frac{a}{a+z} + \frac{a}{a-z}$ loco $\frac{2aa}{aa-zz}$; vel $\sqrt{(1+zz)}+z$ loco $\frac{1}{\sqrt{(1+zz)}-z}$; quae expressiones, etsi forma differunt, tamen revera congruunt. Sæpe numero autem harum plurium formarum idem significantium una aptior est ad propositum efficiendum quam reliquæ, & hanc ob rem formam commodissimam eligi oportet. Alter transformationis modus, quo loco quantitatis variabilis $z$ alia quantitas variabilis $y$ introducitur, quæ quidem ad $z$ datam teneat relationem, per substitutionem fieri dicitur; hocque modo ita uti convenit, ut Functio proposita succinctius & commodius exprimatur, uti si ista proposita fuerit ipsius $z$ Functio, $a^4-4a^3z+6aazz-4az^3+z^4$; si loco $a-z$ ponatur $y$, prodibit ista multo simplicior ipsius $y$ Functio $y^4$: &, si habeatur hæc Functio irrationalis $\sqrt{(aa+zz)}$ ipsius $z$, si ponatur $z = \frac{aa-yy}{2y}$, ista Functio per $y$ expressa fiet rationalis $= \frac{aa+yy}{2y}$. Hunc autem transformationis modum in sequens Caput differam, hoc Capite illum, qui sine substitutione procedit, expositurus. 28. Functio integra ipsius $z$ sæpenumero commode in suos factores resolvitur, sicque in productum transformatur. Quando Functio integra hoc pacto in factores resolvitur, ejus natura multo facilius perspicitur; casus enim statim innotescunt, quibus Functionis valor fit $=0$. Sic hæc ipsius $z$ Functio $6-7z+z^3$ transformatur in hoc productum $(1-z)(2-z)(3+z)$ ex quo statim liquet Functionem propositam tribus casibus fieri $=0$; scilicet si $z=1$, & $z=2$, & $z=-3$, quæ proprietates ex forma $6-7z+z^3$ non tam facile intelliguntur. Istiusmodi Factores, in quibus variabiles $z$ nulla