Introductio in analysin infinitorum

FUNCTIONUM. 19 Horum Factorum multiplicentur primus ac tertius in se invicem, CAP. II. posito brevitatis gratia, $t=pp-qq-r$, & $u=2pq-s$; eritque horum Factorum productum=$zz-(2p-\sqrt{2t+2\sqrt{tt+uu}})z +pp+qq-p\sqrt{2t+2\sqrt{tt+uu}} + \sqrt{tt+uu} + q\sqrt{-2t+2\sqrt{tt+uu}}$; quod utique est reale. Simili autem modo productum ex Factoribus secundo & quarto erit reale nempe = $zz-(2p+\sqrt{2t+2\sqrt{tt+uu}})z +pp+qq+p\sqrt{2t+2\sqrt{tt+uu}} + \sqrt{tt+uu} + q\sqrt{-2t+2\sqrt{tt+uu}}$. Quocirca productum propositum $Q$, quod in duos Factores duplices reales resolvi posse negabatur, nihilo minus actu in duos Factores duplices reales est resolutum. 32. Si Functio integra $Z$ ipsius $z$ quotcunque habeat Factores simplices imaginarios, bini semper ita conjungi possunt, ut eorum productum fiat reale. Quoniam numerus radicum imaginariarum semper est par, fit is $=2n$; ac primo quidem patet productum harum radicum imaginariarum omnium esse reale. Quod si ergo duæ tantum radices imaginariæ habeantur, erit earum productum utique reale; sin autem quatuor habeantur Factores imaginarii, tum, uti vidimus, eorum productum resolvi potest in duos Factores duplices reales formæ $fzz+gz+h$. Quanquam autem eundem demonstrandi modum ad altiores potestates extendere non licet, tamen extra dubium videtur esse positum eandem proprietatem in quotcunque Factores imaginarios competere; ita ut semper loco $2n$ Factorum simplicium imaginariorum induci queant $n$ Factores duplices reales. Hinc omnis Functio integra ipsius $z$ resolvi poterit in Factores reales vel simplices vel duplices. Quod quamvis non summo rigore sit demonstratum, tamen ejus veritas in sequentibus magis corroborabitur, ubi hujus generis Functiones $a+bz^n$; $a+bz^n+cz^{2n}$; $a+bz^n+cz^{2n}+dz^{3n}$ &c. actu in istiusmodi Factores duplices reales resolventur. C 2 33. Si