Introductio in analysin infinitorum

20 DE TRANSFORMATIONE LIB. I. 33. Si Functio integra $Z$, posito $z=a$ induat valorem $A$, & posito $z=b$, induat valorem $B$; tum, loco $z$ valores medios inter $a$ & $b$ ponendo, Functio $Z$ quosvis valores medios inter $A$ & $B$ accipere potest. Cum enim $Z$ fit Functio uniformis ipsius $z$, quicunque valor realis ipsi $z$ tribuatur, Functio quoque $Z$ hinc valorem realem obtinebit. Cum igitur $Z$, priore casu $z=a$, nanciscatur valorem $A$; posteriore casu $z=b$, autem, valorem $B$; ab $A$ ad $B$ transire non poterit, nisi per omnes valores medios transeundo. Quod si ergo æquatio $Z-A=0$ habeat radicem realem, simulque $Z-B=0$ radicem realem suppeditet; tum æquatio quoque $Z-C=0$ radicem habebit realem; si quidem $C$ intra valores $A$ & $B$ contineatur. Hinc si expressiones $Z-A$ & $Z-B$ habeant Factorem simplicem realem, tum expressio quæcunque $Z-C$ Factorem simplicem habebit realem, dummodo $C$ intra valores $A$ & $B$ contineatur. 34. Si in Functione integra $Z$ exponens maximæ ipsius $z$ potestatis fuerit numerus impar $2n+1$, tum ea Functio $Z$ unicum ad minimum habebit Factorem simplicem realem. Habebit scilicet $Z$ hujusmodi formam $z^{2n+1} + \alpha z^{2n} + \beta z^{2n-1} + \gamma z^{2n-2} + \&c.$ in qua si ponatur $z=\infty$, quia valores singulorum terminorum præ primo evanescunt, fiet $Z=(\infty)^{2n+1}=\infty$; ideoque $Z-\infty$ Factorem simplicem habebit realem nempe $z-\infty$. Sin autem ponatur $z=-\infty$, fiet $Z=(-\infty)^{2n+1}=-\infty$, ideoque habebit $Z+\infty$ Factorem simplicem realem $z+\infty$. Cum igitur tam $Z-\infty$, quam $Z+\infty$ habeat Factorem simplicem realem; sequitur etiam $Z+C$ habiturum esse Factorem simplicem realem, siquidem $C$ contineatur intra limites $+\infty$ & $-\infty$; hoc est si $C$ fuerit numerus realis quicunque, sive affirmativus, sive negativus. Hanc ob rem, facto $C=0$, habebit quoque ipsa Functio $Z$ Factorem simplicem realem $z-c$; atque quantitas $c$ contine-