Introductio in analysin infinitorum

FUNCTIONUM. 27 & S, erit $M-AS = 0$, ex quo fiet $A = \frac{M}{S}$; hocque ergo CAP. II. modo reperitur numerator $A$ fractionis quæsitæ $\frac{A}{p-qz}$; atque si ex singulis denominatoris $N$ Factoribus simplicibus, dummodo sint inter se inæquales, hujusmodi fractiones simplices formen- tur, harum fractionum simplicium omnium summa erit æqualis Functioni propositæ $\frac{M}{N}$. EXEMPLUM. Sic, si in Exemplo præcedente $\frac{1+zz}{z-z^3}$, ubi est $M=1+zz$; & $N=z-z^3$, sumatur $z$ pro Factore simplice, erit $S=$ $1-zz$, atque fractionis simplicis $\frac{A}{z}$ hinc ortæ erit numerator $A = \frac{1+zz}{1-zz} = 1$ posito $z=0$, quem valorem $z$ obtinet si ipse hic Factor simplex $z$ nihilo æqualis ponatur. Simili modo si pro denominatoris Factore sumatur $1-z$, ut sit $S=z+zz$ erit $A = \frac{1+zz}{z+zz}$, facto $1-z=0$, unde erit $A=1$, & ex Factore $1-z$ nascitur fractio $\frac{1}{1-z}$. Tertius denique Fa- ctor $1+z$, ob $S=z-zz$, & $A = \frac{1+zz}{z-zz}$, posito $1+z$ $=0$, seu $z=-1$, dabit $A=-1$, & fractionem sim- plicem $\frac{-1}{1+z}$. Quare per hanc regulam reperitur $\frac{1+zz}{z-z^3}$ $= \frac{1}{z} + \frac{1}{1-z} - \frac{1}{1+z}$, ut ante. 42. Functio fracta hujus formæ $\frac{P}{(p-qz)^n}$, cujus numerator $P$ non tantam ipsius $z$ potestatem involvit quantam denominator $(p-qz)^n$, transmutari potest in hujusmodi fractiones partiales D 2 A