Introductio in analysin infinitorum

28 DE TRANSFORMATIONE LIB. I. $\frac{A}{(p-qz)^n} + \frac{B}{(p-qz)^{n-1}} + \frac{C}{(p-qz)^{n-2}} + \dots + \frac{K}{p-qz}$, quarum omnium numeratores sint quantitates constantes. Quoniam maxima potestas ipsius $z$ in $P$ minor est quam $z^n$, erit $z^{n-1}$, ideoque $P$ hujusmodi habebit formam: $a+bz+yz^2+dz^3 + \dots + xz^{n-1}$ existente terminorum numero $= n$, cui aequari debet numerator summae omnium fractionum partialium, postquam singulae ad eundem denominatorem $(p-qz)^n$ fuerint perductae: qui numerator propterea erit $= A+B(p-qz)+C(p-qz)^2 + D(p-qz)^3 + \dots + K(p-qz)^{n-1}$. Hujus maxima ipsius $z$ potestas est, ut ibi, $z^{n-1}$, atque tot habentur litterae incognitae $A, B, C, \dots, K$, (quarum numerus est $= n$,) quot sunt termini congruentes reddendi. Quamobrem litterae constantes $A, B, C$, &c. ita definiri poterunt, ut fiat Functio fracta genuina $\frac{P}{(p-qz)^n} = \frac{A}{(p-qz)^n} + \frac{B}{(p-qz)^{n-1}} + \frac{C}{(p-qz)^{n-2}} + \frac{D}{(p-qz)^{n-3}} + \dots + \frac{K}{p-qz}$. Ipsa autem horum numeratorum inventio mox facilis aperietur. 43. Si Functionis fractae $\frac{M}{N}$ denominator $N$ Factorem habeat $(p-qz)^2$, sequenti modo fractiones partiales ex hoc Factore oriundae reperientur. Cujusmodi fractiones partiales ex singulis Factoribus denominatoris simplicibus, qui alios sibi aequales non habeant, oriantur, ante est ostensum: nunc igitur ponamus duos Factores inter se esse aequales, seu, iis conjunctis, denominatoris $N$ Factorem esse $(p-qz)^2$. Ex hoc ergo Factore per §. praeced. duae nascentur fractiones partiales hae $\frac{A}{(p-qz)^2} + \frac{B}{p-qz}$. Sit autem