Introductio in analysin infinitorum

FUNCTIONUM. 29 CAP. II. tem $N=(p-qz)^2S$, eritque $\frac{M}{N} = \frac{M}{(p-qz)^2S} = \frac{A}{(p-qz)^2} + \frac{B}{p-qz} + \frac{P}{S}$, denotante $\frac{P}{S}$ omnes fractiones simplices junctim sumptas ex denominatoris Factore $S$ ortas. Hinc erit $\frac{P}{S} = \frac{M-AS-B(p-qz)S}{(p-qz)^2S}$, & $P = \frac{M-AS-B(p-qz)S}{(p-qz)^2}$ Functioni integræ. Debet ergo $M-AS-B(p-qz)S$ divisibile esse per $(p-qz)^2$: fit primum divisibile per $p-qz$, atque tota expressio $M-AS-B(p-qz)S$ evanescet, posito $p-qz=0$, seu $z=\frac{p}{q}$; ponatur ergo ubique $\frac{p}{q}$ loco $z$, eritque $M-AS=0$, ideoque $A=\frac{M}{S}$; scilicet fractio $\frac{M}{S}$, si loco $z$ ubique ponatur $\frac{p}{q}$, dabit valorem ipsius $A$ constantem. Hoc invento quantitas $M-AS-B(p-qz)S$ etiam per $(p-qz)^2$ divisibilis esse debet, seu $\frac{M-AS}{p-qz}-BS$ denuo per $p-qz$ divisibile esse debet. Posito ergo ubique $z=\frac{p}{q}$ erit $\frac{M-AS}{p-qz} = BS$, ideoque $B = \frac{M-AS}{(p-qz)S} = \frac{1}{p-qz}(\frac{M}{S}-A)$, ubi notandum est, cum $M-AS$ divisibile fit per $p-qz$, hanc divisionem prius institui debere, quam loco $z$ substituatur $\frac{p}{q}$. Vel ponatur $\frac{M-AS}{p-qz} = T$, eritque $B=\frac{T}{S}$ posito $z=\frac{p}{q}$; inventis ergo numeratoribus $A$ & $B$, erunt fractiones partiales ex denominatoris $N$ Factore $(p-qz)^2$ ortæ hæ $\frac{A}{(p-qz)^2} + \frac{B}{p-qz}$. EXEMPLUM I. Sit hæc proposita Functio fracta $\frac{1-zz}{zz(1+zz)}$, crit, ob de- D 3 nomina-