Methodus inveniendi lineas curvas

AD CURVAS INVENIENDAS APPLICATA. $3$ jam manifestum est, id, sine adjuncta conditione, nequidem nomen quaestionis retinere posse: perspicuum enim est, quo brevior magisque ad situm verticalem accedens linea capiatur, eo fore tempus descensus super ea brevius. Quamobrem non absolute quaeri potest linea, super qua grave descendens celerrime seu brevissimo tempore delabatur; sed abscissae quantitas, cui curva invenienda respondeat, simul debuit definiri; ita ut, inter omnes curvas eidem abscissae in axe positione dato sumtae respondentes, quaereretur ea super qua corpus grave citissime delaberetur. Neque vero in hoc Problemate ista conditio sufficiebat ad id determinatum efficiendum: sed insuper istam conditionem adjicere oportuit, ut curva invenienda per data duo puncta transeat; atque istud Problema his conditionibus adstringi debuit, ut fieret determinatum, inter omnes, scilicet, lineas curvas per data duo puncta transeuntes eam determinare super qua corpus descendens arcum datae abscissae respondentem brevissimo tempore absolvat. Interim tamen hic notandum est, conditionem transitus per duo puncta non esse absolute necessariam, sed in hoc Problemate per ipsam solutionem esse illatam. In solutione enim hujus Problematis immediate pervenitur ad aequationem differentialem secundi gradus, quae bis integrata duas recipit constantes arbitrarias, ad quas determinandas duobus opus est punctis per quae curva traducatur, vel aliis similibus proprietatibus: atque haec eadem conditio, quasi sua sponte, ad omnia istiusmodi Problemata accedit, quarum solutio immediate ad aequationem differentialem secundi gradus deducit. In Problematibus autem quae resolvuntur per aequationem differentialem quarti vel altioris ordinis, nequidem duo puncta ad curvam determinandam sufficiunt, sed tot opus est punctis, quot gradus differentialia obtinent. Contra vero, si solutio statim ad aequationem algebraicam perducat, tum sine hujusmodi conditione Problema perfecte erit determinatum; dummodo abscissae longitudo definiatur. Verum haec omnia clarius perspicientur, quando infra ad solutiones Problematum perveniemus: ibique has notationes fusius explicabimus. Hic enim in principio ista tantum commemorare visum est, ut perversas $A 2$