Methodus inveniendi lineas curvas

100 DE METHODO MAX. ET MIN. SCHOLION I. 25. Etsi autem numerus punctorum, per quæ curva quæsita transire debet, a gradu differentialitatis pendet, tamen hoc casu non per numerum $n+2$ definiri potest. Æquatio enim hæc differentialis $n+2$ graduum, potestate quidem involvit $n+2$ constantes, verum eæ non omnes sunt arbitrariæ. Una namque constans ex eo determinatur, quod integrale $\int Z dx$ obtinere debeat valorem, non vagum, sed talem qualem in quantitate $Z$ obtinet, hoc est, qui evanescat posito $x=0$, siquidem hæc conditio fuerit in formula $\int Z dx$ assumta. Deinde pari modo una constans definitur formula $\int L dx$, quæ, uti posuimus, evanescere debet posito $x=0$. Quocirca tantum $n$ supererunt constantes mere arbitrariæ, quæ totidem præbebunt puncta, quibus Problema determinabitur. Similiter igitur, uti in præcedente Capite, Problema, ut sit determinatum, ita erit proponendum, ut inter omnes curvas per data $n$ puncta transeuntes ea determinetur, quæ pro data abscissa $x=a$ contineat valorem formulæ $\int Z dx$ maximum minimumve. Ad hanc igitur dijudicationem instituendam, æquatio inventa debebit evolvi; hoc est, omnes differentiationes indicatæ actu perfici debebunt; quo facto, patebit quanti gradus differentialia insint, ex hocque gradu habebitur numerus $n$. Quantum autem insuper circa hunc numerum $n$ observare liceat, in Exemplis sequentibus videbimus. EXEMPLUM I. 26. Invenire curvam, quæ, pro data abscissa $AZ=a$, habeat valorem formulæ $\int yxdx \int ydx$ maximum vel minimum, integrali $\int ydx$ ita accipiendo, ut evanescat posito $x=0$. Erit igitur $\pi = \int ydx$, & $[Z]=y$; unde fiet $[N]=1$; reliquis litteris $[M], [P], [Q], \&c.$ existentibus $=0$. Porro erit $Z=yx\pi$ & $dZ = yxd\pi + y\pi dx + x\pi dy$; ex quo habebitur $L=yx$; $M=y\pi$ & $N=x\pi$, $P=Q=R, \&c. = 0$.