Methodus inveniendi lineas curvas

AD CURVAS INVENIENDAS ABSOLUTA. 121 SCHOLION I. 44. Usus hujus Propositionis eximius est in quaestionibus ita comparatis, ut quantitates indefinitae in iis contentae per formulas integrales exhiberi nequeant, verum constructionem aequationum differentialium postulent. Atque haec solutio perinde valet, sive una hujusmodi quantitas $\Pi$ insit in formula maximi minimive $\int Z dx$ sive plures; quod si enim plures insint ejusmodi quantitates $\Pi$, plures etiam habebuntur valores litterarum $L$, $[L]$, $[M]$, $[N]$, $[P]$, $[Q]$, &c. atque etiam litterae $V = e^{\int [L] dx} (H - \int e^{\int [L] dx} L dx)$; qui omnes aequaliter, eo modo quem invenimus, in valorem differentialem formulae $\int Z dx$ introducti praebebunt aequationem pro curva; similisque omnino tractatio erit, ac si unica tantum adesset. Quoniam autem littera ista $\Pi$, cujus valor absolutus per quantitates ad curvam pertinentes exhiberi non potest, in omnibus fere terminis manet; aequatio pro curva, quae invenitur, non solum ex litteris $x, y, p, q, r, \&c.$ constabit, sed etiam ipsam eam quantitatem $\Pi$, aliasque formulas integrales plerumque ab ea pendentes, uti $\int [L] dx$ & $\int L dx$, involvet. Quare ut aequatio pro curva pura, quae tantum litteris $x, y, p, q, \&c.$ contineatur, prodeat, oportet cum aequatione inventa, postquam a formulis integralibus $\int [L] dx$ & $\int L dx$ est liberata, conjungi aequationem $d\Pi = [Z] dx$, ejusque ope valorem $\Pi$ eliminari. Quanquam autem hoc modo ad differentialia altiorum ordinum pervenitur, tamen non totidem inesse censendae sunt constantes arbitrariae. Nam tam ipsa aequatio $d\Pi = [Z] dx$, quam reliquae anteriores aequationes, certam requirunt determinationem, unde plures constantes determinabuntur. Ceterum notandum est veritatem hujus Methodi comprobari posse per praecedentes, quando aequatio $d\Pi = [Z] dx$ ita est comparata ut integrationem admittat: tum enim eaedem quaestiones per Methodos ante traditas resolvi poterunt, indeque consensum observare licebit. Ita si $[Z]$ tantum ex $x$ & $\Pi$ constet, tum certum erit $\Pi$ esse functio- Euleri de Max. & Min. Q nem