Methodus inveniendi lineas curvas

136 DE USU METHODI arcus BM longitudo erit $= \int\sqrt{(dy^2 + \frac{dx^2}{yy})}$. Posito ergo $dy=pdx$, minimum esse debet haec formula $\int dx\sqrt{(\frac{1}{yy} + pp)}$ $= \int \frac{dx\sqrt{(1+yypp)}}{y}$. Erit itaque $Z = \frac{\sqrt{(1+yypp)}}{y}$, & $dZ = -\frac{dy}{yy\sqrt{(1+y^2p^2)}} + \frac{yypdp}{y\sqrt{(1+yypp)}}$; unde $M=0$ $N = -\frac{1}{yy\sqrt{(1+y^2p^2)}}$; $P = \frac{yp}{\sqrt{(1+y^2p^2)}}$, $Q=0$ &c. Pertinet ergo haec quaestio ad casum primum, ac solutio praebebit lineam curvam, quae pro area quacunque APMB abscisse erit brevissima. Pervenietur autem, uti in praecedente Exemplo, ad aequationem hanc $Z=C+Pp$, atque curva quaesita per data duo puncta describi poterit. Erit itaque $\frac{\sqrt{(1+yypp)}}{y} =$ $C + \frac{ypp}{\sqrt{(1+yypp [TRUNCATED]