Methodus inveniendi lineas curvas

146 DE USU METHODI ne, ex ea utraque quantitas $A$ & $B$ incrementum accipiet, unaquaeque scilicet augebitur valore differentiali ex praecedentibus definiendo. Sit igitur $dA$ valor differentialis ipsius $A$, qui respondet formulae integrali $\int Zdx$, posito $x = a$, similique modo fit $dB$ valor differentialis ipsius $B$ oriundus ex formula $\int Tdx$, posito $x = a$. Cum ergo, ex adjecta particula $nv$ variabili $y$, abeat $A$ in $A+dA$, & $B$ in $B+dB$, productum $AB$ transmutabitur in $AB + AdB + BdA + dAdB$; quare cum $AB$ esse debeat maximum vel minimum, oportebit esse $AB = AB + AdB + BdA + dAdB$. Ideoque $0 = AdB + BdA$, ob evanescentem terminum $dAdB$ prae reliquis. Ex his itaque oritur sequens Problematis solutio; Quaeratur formulae $\int Zdx$ valor differentialis qui fit $dA$, sitque $A$ valor formulae $\int Zdx$, quem obtinet posito $x = a$. Deinde quaeratur formulae $\int Tdx$ valor differentialis, qui fit $dB$, ac $B$ denotet valorem formulae $\int Tdx$, quem recipit posito $x = a$: quibus factis habebitur ista aequatio $0 = AdB + BdA$, in qua relatio satisfaciens inter $x$ & $y$ continebitur. Q. E. I. COROLL. I. 15. Quanquam in aequatione $0 = AdB + BdA$ insunt quantitates constantes $A$ & $B$, tamen eae non sunt arbitrariae, sed utraque per ipsam hanc aequationem definietur. Scilicet si ex hac aequatione eliciantur valores $\int Zdx$ & $\int Tdx$, ponaturque $x = a$, prodire debent illae quantitates $A$ & $B$; unde hae determinabuntur per $a$, & per reliquas constantes arbitrarias quae per integrationem ingredientur. COROLL. II. 16. Si $Z$ & $Y$ fuerint functiones determinatae quantitatum $x, y, p, q, r, \&c.$ tum valores differentiales $dA$ & $dB$ non pendebunt ab $a$; interim tamen quantitas $a$ ingreditur in aequationem $0 = AdB + BdA$: ex quo curva inventa, tantum pro definito abscissae $x$ valore $x = a$, quaesito satisfaciet. Co-