Methodus inveniendi lineas curvas

AD CURVAS INVENIENDAS APPLICATA. 9 COROLL. III. 19. Ut autem facilius appareat, quomodo per has substitutiones differentialia cujusque gradus ipsius y evanescant; juvabit sequentem Tabellam adjecisse. $dy = pdx$ $ddy = dpdx = qdx^2$ $d^3 y = dqdx^2 = rdx^3$ $d^4 y = drdx^3 = sdx^4$ $d^5 y = dsdx^4 = tdx^5$ &c. &c. &c. COROLL. IV. 20. Quod si etiam arcus curvæ abscissæ x respondens, cum suis differentialibus cujuscunque gradus occurrat; ea omnia per istas litteras ita exprimi poterunt, ut nulla alia differentialia præter dx adsint. Polito enim arcu = w erit. $w = \int \sqrt{(dx^2 + dy^2)} = \int dx \sqrt{(1+pp)}$ $dw = dx \sqrt{(1+pp)}$ $ddw = \frac{pqdx^2}{\sqrt{(1+pp)}}$ $d^3 w = \frac{prdx^3}{\sqrt{(1+pp)}} + \frac{qqdx^3}{(1+pp)^{\frac{3}{2}}}$ &c. CORO [TRUNCATED]