Methodus inveniendi lineas curvas

IN RESOLVENDIS QUAESTIONIBUS. 161 $=cc\int dx\sqrt{(1+pp)} = 2c\int\frac{dx}{\sqrt{(4c^4-(bc-xx)^2)}};$ quae determinatio eo revocatur, ut effici debeat $\int dx\sqrt{(4c^4-(bc-xx)^2)} = (aa-bc)\int\frac{dx(bc-xx)}{\sqrt{(4c^4-(bc-xx)^2)}};$ fi post integrationem utramque ponatur $x=a$. Hoc itaque modo constans illa $c$ per $a$ determinabitur. PROPOSITIO IV. PROBLEMA. 31. Invenire aequationem inter binas variabiles $x$ & $y$ ita comparatam, ut, posita variabili $x=a$, maximum minimumve fiat expressio $W$, quae sit functio quaecunque formularum integralium, $\int Zdx, \int Ydx, \int Xdx$, &c. in quibus denotent $Z, Y, X$ &c. functiones quascunque ipsarum $x, y, p, q$, &c. sive, determinatas, sive indeterminatas. SOLUTIO. Ponamus idoneam aequationem inter $x$ & $y$ jam esse inventam, positoque $x=a$, fieri $\int Zdx=A; \int Ydx=B; \int Xdx=C$ &c. hisque valoribus in expressione $W$ substitutis, habebitur revera maximum vel minimum. Quod si igitur altera variabilis $y$ in uno loco particula $n$ augeri ponatur, atque nascentes hinc mutationes in singulis formulis $\int Zdx, \int Ydx, \int Xdx$ &c. introducantur, idem pro $W$ valor prodire debet. At ab illa particula $n$ formulae $\int Zdx, \int Ydx, & \int Xdx$ &c. quaeque suis valoribus differentialibus augebuntur. Si ergo ponatur formulae $\int Zdx$ valor differentialis $=dA$, formulae $\int Ydx=dB$, formulae $\int Xdx=dC$, &c. loco quantitatum $A, B, C$, &c. orientur a particula $n$ istae auctae $A+dA, B+dB, C+dC$ &c. quae in $W$ substitutae eundem valorem producere debent, quem ipsae $A, B, C$, &c. Ponamus, $A+dA, B+dB, C+dC$ &c. loco $\int Zdx, \int Ydx, \int Xdx$ &c. substitutis, prodire $W+dW$; eritque $W+dW=W$, ideoque $dW=0$. Hic autem valor $dW$, ut ex differentiationis natura liquet, invenitur, Euleri De Max. & Min. X