Methodus inveniendi lineas curvas

174 DE METHODO SCHOLION II. 9. Hæc omnia magis illustrabuntur, si proprietatem communem, de qua hactenus in genere sumus locuti, definiamus. Sit igitur proprietas communis, formula longitudinem arcus curvæ exprimens, maximi minimive expressio autem fit $\int Z dx$; ita ut, inter omnes curvas quæ habeant arcus eidem abscissæ respondentes inter se æquales, ea debeat determinari, in qua pro eadem abscissa fiat $\int Z dx$ maximum vel minimum. Manifestum autem est, non solum infinitas lineas curvas dari pro eadem abscissa longitudine æquales, verum hoc etiam infinitis modis fieri posse. Sit enim abscissa communis $=a$, sumaturque quæcunque longitudo $e$ major quam $a$, infinitæ exhiberi poterunt lineæ, tum rectæ tum curvæ, quarum singularum longitudo fit $=e$; atque inter has definiri poterit una, in qua fit $\int Z dx$ maximum vel minimum. Loco $e$ autem infinitæ accipi possunt quantitates; eo quod alia non adest conditio, nisi ut fit $e>a$; atque quilibet valor pro $e$ assumtus dabit unam curvam maximi minimive proprietate præditam. Quamobrem, pro infinitis ipsius $e$ valoribus, infinitæ reperientur lineæ curvæ quæstioni satisfacientes. Neque tamen idcirco Quæstio pro indeterminata est habenda: nam solutio ipsa, infinitas curvas satisfacientes præbens, ita est interpretanda, ut unaquæque harum curvarum inventarum inter omnes alias æque longas possideat valorem formulæ $\int Z dx$ in maximo minimove gradu. Perspicuum autem est, quod hic de æqualibus arcubus curvarum ostendimus, idem de alia quacunque formula seu expressione indeterminata valere debere. Ita si, inter omnes curvas quæ, pro data abscissa $x=a$, valorem formulæ $\int Y dx$ eundem continent, ea requiratur in qua fit $\int Z dx$ maximum vel minimum; tum infinitæ quidem reperientur lineæ satisfacientes: verum hæ inter se ita discrepabunt, ut quælibet, inter omnes alias possibiles lineas curvas secum valorem formulæ $\int Y dx$ communem habentes, contineat formulæ $\int Z dx$ valorem maximum vel minimum. PRO-