Methodus inveniendi lineas curvas

MAX. ET MIN. RELATIVA. 175 PROPOSITIO I. THEOREMA. 10. Quae curva, inter omnes omnino curvas eidem abscissae respondentes, maximi minimive cujuspiam propositi proprietate gaudet; eadem curva simul, inter omnes curvas communi quacunque cum ipsa proprietate praeditas, eadem maximi minimive proprietate gaudebit. DEMONSTRATIO. Sit maximi minimive expressio $=A$, proprietas autem communis $=B$; eritque tam $A$ quam $B$, vel formula integralis indefinita, vel expressio ex hujusmodi pluribus formulis composita. Ponamus jam curvam esse inventam, quae, inter omnes omnino curvas eidem abscissae respondentes, expressionem $A$ contineat maximam vel minimam; ea curva certum quemdam expressionis $B$ continebit valorem; praeter eam autem dabuntur innumerabiles aliae, in quas idem expressionis $B$ valor competet; haeque innumerabiles curvae omnes jam continentur in illis omnibus omnino curvis, ex quibus ea, in qua expressio $A$ est maximum minimumve, est inventa. Cum igitur haec curva, inter omnes omnino curvas, proposita maximi minimive proprietate gaudeat; eadem quoque, inter illas infinitas curvas secum expressionem $B$ communem habentes, valorem expressionis $A$ maximum minimumve possidebit. Q. E. D. COROLL. I. 11. Methodus igitur absoluta etiam Problematis Methodi relativae resolvendis inservit: dum unam semper curvam satisfacientem exhibet. Verum tamen solutionem completam non largitur. COROLL. II. 12. Curva ergo, quae, inter omnes, expressionem $A$ habet maxi-