Methodus inveniendi lineas curvas

MAX. ET MIN. RELATIVA. 179 SCHOLION. 21. Ambas expressiones $A$ & $B$, licet in se spectatae res omnino diversas significent, inter se commutabiles esse ipsa solutionis natura sponte patet. Quod si enim ad binas particulas $n$ & $o$ respiciamus, quibus applicatae $Nn$ & $Oo$ augentur; primum eas ita comparatas esse oportet, ut proprietas communis $B$, tam in ipsa curva quam in mutata, eundem valorem obtineat; scilicet proprietas communis $B$ in curvam $amnopz$ & in $am\omega pz$ aeque competere debet: deinde pari modo per easdem particulas $n$ & $o$ efficiendum est, ut expressio $A$, quae maximum minimumve esse debet, tam pro curva $amnopz$ quam pro $am\omega pz$ eundem valorem recipiat. Atque adeo, tam proprietas communis, quam maximi minimive natura, eandem plane conditionem in calculum inducit; ex quo manifestum est ambas expressiones datas, quarum altera proprietatem communem, altera maximi minimive rationem continet, inter se commutari atque confundi posse, salva Solutione. Hanc ob rem ergo, in Solutione hujusmodi Problematum, sufficit nosse ambas illas expressiones; neque ad Solutionem absolvendum nosse opus est, utra proprietatem communem aut maximum minimumve significet. Sic si, inter omnes curvas longitudine aequales, quaeratur ea, quae maximam aream comprehendat; eadem reperitur curva quae prodit, si, inter omnes curvas aequales areas includentes, ea quaeratur quae sit brevissima, vel minimam longitudinem habeat. Haec ita se habent, si maximi minimive quod quaeritur natura ita fuerit comparata, ut ejus valor differentialis fit $= 0$. Jam supra autem animadvertimus, duplicis generis dari maxima & minima, in quorum altero valor differentialis fit $= 0$, in altero vero $= \infty$. Hic vero tantum maxima ac minima prioris generis contemplamur; nam, in hac Methodo relativa, posterius genus locum omnino habere nequit. Quod si enim valor differentialis, qui convenit maximi minimive expressioni, infinite magnus ponatur; tum ex hoc solo aequatio pro curva reperitur; neque ideo proprietas communis in computum ingreditur. Quare, si hujus generis Z 2