Methodus inveniendi lineas curvas

12 DE METHODO MAX. ET MIN. Fig. 1. pro qua valor formulæ $W$ sit maximus vel minimus. Ponamus huic Quæstioni satisfacere curvam $a mz$, ita ut, quæcunque alia curva ad abscissam definitam $AZ$ referatur, valor formulæ $W$ vel fiat minor quam pro hac curva, vel major; prout in curva satisfaciente, $W$ vel maximum esse debet vel minimum. In hac igitur quæstione latissime patente, habemus primo abscissam determinatæ longitudinis $AZ$: deinde curva est quærenda, vel inter omnes omnino curvas ad eandem hanc abscissam relatas, vel tantum inter innumerabiles quibus una pluresve proprietates sint communes, prout quæstio ad methodum maximorum & minimorum vel absolutam vel relativam est accommodata: tertiò habemus eam quantitatem $W$, cujus valor in curva quæsita $a mz$ maximus esse debet vel minimus; eritque igitur quantitas $W$ maximi minimive formula, sicut ea est definita. Nunc igitur statim apparet hanc formulam $W$ ita esse debere comparatam, ut ad omnes curvas quæ quidem concipi possunt accommodari queat. Primo scilicet a quantitate abscissæ definitæ $AZ$ debebit pendere; ita ut ea mutetur, valore ipsius $AZ$ mutato. Deinde etiam a natura cujusvis curvæ quæ quidem concipi potest peculiari modo debet pendere: nisi enim ita esset comparata, pro omnibus curvis eundem valorem sortiretur, quæstioque foret nulla. Quamobrem quantitas $W$, præter abscissam, in se quoque complecti debebit quantitates ad curvam ipsam pertinentes. Cum igitur omnis curva determinetur per relationem inter abscissam & applicatam, quantitas $W$ debet esse conflata ex abscissa & applicata, & quantitatibus inde pendentibus. Hoc est, si abscissa indefinita ponatur = $x$, & applicata respondens indefinita = $y$, quantitas $W$ esse debet functio binarum variabilium $x$ & $y$. Quod cum ita sit, si curva quæcunque determinata concipiatur, atque ex ejus natura relatio inter $y$ & $x$ in formula $W$ substituatur, ea definitum impetrabit valorem ad datam illam curvam atque ejus definitam abscissam pertinentem. Quoniam jam, pro aliis atque aliis curvis, formula $W$ diversos valores induit, etiamsi [TRUNCATED]