Methodus inveniendi lineas curvas

184 DE METHODO calculo particulæ $n$ & $o$ nusquam inter se permifcentur, sed utraque perpetuo seorsim tractari possit. Ut autem hæc ad notandi modum in superiori capite receptum accommodemus; ponamus $V$ esse expressionem quamcunque indeterminatam, quæ, pro abscissa definita $AZ = a$, valorem recipiat $= A$; ejusque valorem differentialem ex particula $n$ ortum esse $= nv . dA$; ubi $dA$ nobis denotet idem quod ante $Tdx$; poteritque iste valor $dA$ ex expressione $V$, modo in Capitibus præcedentibus exposito, inveniri. Hoc invento erit ejusdem expressionis $V$ valor differentialis ex binis particulis $n$ & $o$ oriundus $= nv . dA + ow . dA'$ ubi $dA'$ denotat valorem $dA$ suo differentiali auctum. Quanquam autem ista valorum differentialium ex binis particulis oriundorum ad nostrum institutum omnino est necessaria; tamen solutio ipsa Problematum huc pertinentium eo iterum reducetur, ut per solos valores differentiales modo supra exposito inventos, qui scilicet ex unica particula $n$ nascuntur, absolvi queat; id quod ex sequente Propositione mox patebit. PROPOSITIO IV. PROBLEMA. 27. Inter omnes curvas ad eandem datam abscissam $AZ = a$ relatas, in quas idem valor expressionis indefinitæ $W$ competit; determinare eam, in qua sit expressio $V$ maximum vel minimum. S O L U T I O. Ponamus curvam $az$ quaesito satisfacere, atque expressionem $W$ in ea obtinere valorem determinatum $= B$; erit ergo hæc curva $az$ inter omnes alias curvas ad eandem abscissam $AZ$ relatas, in quibus expressio $W$ eundem obtinet valorem, ita comparata, ut in ea expressio $V$ maximum minimumve valorem recipiat, qui fit $= A$. Ad curvam ergo hanc inveniendam, positis abscissa indefinita $Al = x$, & applicata respondente $Ii = y$; binæ applicatæ $Nn$ & $Oo$ particulis infinite parvis $nv$ & $ow$ augeri concipiantur: quo facto, tam ipsius $W$ quam ipsius $V$ valor