Methodus inveniendi lineas curvas

MAX. ET MIN. RELATIVA. 189 pressionum, quæ ex duabus pluribusve formulis integralibus utcunque sint compositæ. Ex his itaque subsidiis, pro quavis Quæstione oblata, tam maximi minimive expressionis quam proprietatis communis valor differentialis assignari poterit: utroque autem invento, æquatio pro Curva quæsita nullo negotio formabitur; cum tantum opus sit aggregatum quorumcunque multiplorum illorum binorum valorum differentialium nihilo æquale poni. Hæcque æquatio inventa, deinceps pari modo erit tractanda, quo supra, cum in reductione ad construendum, tum in integratione usi sumus. SCHOLION II. 38. Jam observavimus in æquatione $\mathfrak{a}dA + \mathfrak{C}dB = 0$, quam Solutio immediate suppeditat, unam inesse quantitatem constantem; quæ autem non omnino sit arbitraria, sed ex conditione proposita debeat determinari. Scilicet, cum in omnes curvas ex quibus quæsitam definiri oportet, eadem expressio $W$ æqualiter competere debeat, seu in omnibus eundem valorem, puta $B$, obtinere; hæc quantitas $B$ tanquam data spectari potest; atque cum ipsa in calculum non ingrediatur, ita constantes $\mathfrak{a}$ & $\mathfrak{C}$ definire licebit, ut valor expressionis $W$, abscissæ $AZ = a$ respondens, ipsi $B$ æqualis fiat; hocque pacto, Quæstio alioquin indeterminata determinabitur. Eatenus autem tantum determinabitur, quatenus, per integrationes post instituendas, novæ constantes arbitrariæ etiam per totidem puncta definiuntur. Prorsus nimirum ut ante, totidem puncta præscribi poterunt, per quæ curva quæsita transeat, quot novæ constantes per integrationes ingredi censendæ sunt. Horum autem numerus innotescet ex gradu differentialium summo, qui in æquatione inerit. Quoniam vero tota Quæstio ad Methodum absolutam revocari potest, numerus istiusmodi constantium perpetuo erit par; seu æquatio resultans $\mathfrak{a}dA + \mathfrak{C}dB = 0$, erit vel finita, vel differentialis secundi gradus, vel differentialis quarti gradus, vel differentialis sexti gradus, vel octavi, vel ita porro. Quod Aa 3 fi