Methodus inveniendi lineas curvas

190 DE METHODO si aequatio prodit finita, tum quoque curva penitus jam erit determinata; siquidem ratio inter $\alpha$ & $\beta$ ita definiatur, ut expressio $W$ datum recipiat valorem $B$ in curva inventa, quam determinationem perpetuo adhiberi ponimus. Si aequatio inveniatur differentialis secundi gradus, tum duobus punctis curva inventa determinabitur; congruum autem ac more receptum est ipsos curvae terminos $a$ & $z$ praescribi, hisque casibus Problema determinabitur, si conditio ista adjungatur, ut curva quaesita intra datos terminos $a$ & $z$ contineatur. Sin autem aequatio prodeat differentialis quarti gradus, tum quatuor punctis pro lubitu assignatis, curva satisfaciens determinabitur; haec igitur definiri ita conveniet, ut, praeter terminos extremos $a$ & $z$, simul positio tangentium in his terminis praescribatur. Sin perveniatur ad aequationem differentialem sexti gradus, tum curva per sex quaecunque puncta determinabitur: eorum autem loco praescribi poterunt primo ambo termini $a$ & $z$, tum positio tangentium in his terminis, ac tertio curvedo in his ipsis locis seu radii osculi quantitas. His igitur notatis, intelligetur ex ipsa Solutione cujusmodi conditio ad Problematis cujusque propositionem adjungi debeat, ut id fiat penitus determinatum: haecque admonitio, non solum hic, sed etiam in Methodo absoluta atque reliqua Methodo relativa, locum habet. SCHOLION III. 39. Discrimen hic etiam maximi momenti inprimis est notandum, ex quo in Methodo absoluta primariam tractationis partitionem desumsismus. Consistit id autem in modo, quo curva inventa Quaestioni satisfacit. Fieri enim potest, ut ejus quaecunque portio ad abscissam indefinitam relata requisita proprietate gaudeat; deinde etiam dantur casus, quibus nonnisi ea portio quae definitae abscissae $AZ = a$ respondet, conditioni Problematis satisfaciat. Illud scilicet evenit, si quantitas haec $a$ in aequationem, quam Solutio suppeditat, vel omnino non ingreditur, vel in quantitates arbitrarias $\alpha$ & $\beta$ comprehendi queat.