Methodus inveniendi lineas curvas

MAX. ET MIN. RELATIVA. 191 queat. Ex quo manifestum est, si ambæ formulæ $W$ & $V$ in casu primo §. 7 Capitis præcedentis recensito contineantur, tum curvæ inventæ quamlibet portionem ad Quæstionem esse accommodatam. Deinde vero etiam fieri potest, ut licet quantitas $\alpha$, seu quantitates ab ea pendentes, vel in alterutro valore differentiali insint, vel in utroque; tamen eæ vel se mutuo tollant in æquatione $\alpha d A + \epsilon d B = 0$, vel sub arbitrariis $\alpha$ & $\epsilon$ comprehendi queant; quo casu pariter quamvis curvæ inventæ portionem satisfacere oportet. Hoc autem tantum locum habet, si non datus ac determinatus præscribatur valor, quem proprietas communis $W$ in portione satisfaciente obtinere debeat: tum enim fieri nequit, ut in quavis portione eundem valorem fortiatur. Ex Solutione autem unius cujusque Quæstionis facile intelligetur, qua conditione, sive tota curva a z, sive quævis portio, satisfacere queat; id quod commodissime in Exemplis ostendi poterit. EXEMPLUM I. 40. Inter omnes curvas ad abscissam AZ relatas, in quibus formula $\int y x d x$ eundem obtinet valorem, invenire eam in qua sit valor formulæ $\int y y d x$ minimus. Erit igitur proprietas communis $W = \int x y d x$, cujus, ob $d.xy = y d x + x d y$, valor differentialis est $= n v . d x . x$. Maximi autem minimive formula est $V = \int y y d x$, cujus, ob $d.yy = 2 y d y$, valor differentialis est $= n v . d x . 2 y$. Obtinebitur ergo, divisione per $n v . d x$ instituta, hæc æquatio $\alpha x + 2 \epsilon y = 0$; ex qua patet Quæstioni satisfacere lineam rectam in A cum axe AZ angulum quemcunque constituentem. Et quia longitudo abscissæ AZ $= a$ non in computum ingred [TRUNCATED]