Methodus inveniendi lineas curvas

192 DE METHODO ita definietur, ut esse debeat $y = \frac{3Rx}{a^2}$. Hæc igitur recta jam ista proprietate gaudebit, ut ea inter omnes lineas, sive rectas, sive curvas, quæ pro data abscissa $AZ = a$ habeant formulæ $\int x y dx$ valorem $= B$, producat formulæ $\int y y dx$ minimum valorem. EXEMPLUM II. 41. Inter omnes curvas ejusdem longitudinis puncta $a$ & $z$ jungentes, invenire eam qua maximam vel minimam aream $aAZz$ comprehendat. Quoniam proprietas communis est longitudo arcus $= \int dx \sqrt{(1+pp)}$; erit ejus valor differentialis $= nv. d. \frac{p}{\sqrt{(1+pp)}}$. Deinde maximi minimive formula est $\int ydx$, cujus valor differentialis est $nv. dx$: unde pro curva quæsita ista habebitur æquatio $dx = bd. \frac{p}{\sqrt{(1+pp)}}$, & integrando $x+c = \frac{bp}{\sqrt{(1+pp)}}$; ideoque $p = \frac{\sqrt{(b^2-(x+c)^2)}}{x+c} = -\frac{dy}{dx}$. Hinc ergo integrando fit $y = f + \sqrt{(b^2-(x+c)^2)}$, seu $b^2 = (y-f)^2 + (x+c)^2$; quæ est æquatio generalis pro Circulo. Quamobrem arcus Circuli quicunque per puncta $a$ & $z$ ductus, inter omnes alias lineas curvas ejusdem longitudinis, vel maximam vel minimam aream $aAZz$ includet. Duplici autem [TRUNCATED]