Methodus inveniendi lineas curvas

AD CURVAS INVENIENDAS APPLICATA. 15 habebit. Hæc autem discrimina cuncta ipse calculus post solutionem perpetuo monstrabit. PROPOSITIO I. THEOREMA. 34. Ut per maximi minimive formulam $W$, curva determinetur $amz$, quæ præ omnibus reliquis satisfaciat, formula $W$ debet esse quantitas integralis indefinita, quæ, nisi data assumatur relatio inter $x$ & $y$, integrari nequeat. DEMONSTRATIO. Ponamus enim formulam $W$ integralia indefinita non involvere; erit ea functio quantitatum $x$ & $y$, indeque pendentium $p, q, r, s$, &c. vel algebraica, vel talis transcendens quæ sine assumta relatione inter $x$ & $y$ exhiberi possit; quod evenit, si vel logarithmi harum quantitatum, vel arcus circulares, vel aliæ hujusmodi quantitates transcendentes definitæ ingrediantur, quæ algebraicis æquivalentes funt censendæ. Quod si jam $W$ ponatur functio talis ipsarum $x$ & $y$ tantum, manifestum est valorem formulæ $W$, quem pro data curva $amz$ ad datam abscissam $AZ$ relata obtinet, tantum ab ultima applicata $Zz$ pendere; atque pro omnibus curvis in $Z$ eandem applicatam $Zz$ habentibus fore eundem; atque adeo tali formula $W$ indoles totius curvæ non determinabitur, sed tantum positio extremi ejus puncti $z$; si in $W$ præter $x$ & $y$ etiam quantitas $p$ insit, tum præter longitudinem applicatæ $Zz$ positio tangentis curvæ in $z$, seu positio ultimi elementi in $z$ determinabitur. Sin autem insuper $q$ ingrediatur, tum positio binorum elementorum curvæ contiguorum in $z$ determinabitur, & ita porro. Ex quibus sequitur, si fuerit $W$ functio determinata ipsarum $x, y, p, q, r$, &c. tum per illam tantum curvæ portionem infinite parvam circa extremitatem $z$ determinari: atque pro omnibus curvis in eandem extremitatem definentibus eundem valorem ipsius $W$ esse proditurum. Ut itaque per formulam $W$ tota curva $amz$, quatenus toti abscissæ $AZ$ respondet, definiatur, formula