Methodus inveniendi lineas curvas

16 DE METHODO MAX. ET MIN. Formulam $W$ ita oportet esse comparatam, ut ejus valor ad determinatam curvam $amz$ applicatus, a positione singulorum elementorum hujus curvæ intra terminos $a$ & $z$ sitorum pendeat. Hoc autem evenire non potest, nisi quantitas $W$ sit formula integralis indefinita, quæ generatim sine assumta æquatione inter $x$ & $y$ integrationem non admittat. Q. E. D. COROLL. I. 35. Nisi igitur maximi minimive formula $W$ sit quantitas integralis indefinita, nequidem linea curva in qua valor ipsius $W$ sit maximus vel minimus determinabitur; atque adeo quaestio de invenienda curva, in qua esset $W$ maximum vel minimum erit nulla. COROLL. II. 36. Ut igitur curva assignari possit, in qua valor ipsius $W$ præ aliis sit maximus vel minimus, formula $W$ talem formam $\int Zdx$ habere debet; atque quantitatem $Z$ ita comparatam esse oportet ut differentiale $Zdx$, nisi æquatio statuatur inter $x$ & $y$, integrari nequeat. SCHOLION. 37. Quoniam maximi minimive formula $W$ debet esse integrale formulæ differentialis indefinitæ primi gradus; hoc est cujus integrale fiat quantitas finita; ea formula differentialis semper ad hujusmodi formam $Zdx$ poterit reduci, ope litterarum $p, q, r$, &c. Et hanc ob rem in sequentibus maximi minimive formula perpetuo per $\int Zdx$ nobis indicabitur. Erit autem $Z$ functio non solum quantitatum $x$ & $y$, sed etiam continebit litteras $p, q, r$, &c. Ita si area $AazZ$ debeat esse maxima vel minima, formula $W$ abibit in $\int ydx$; &, si superficies solidi rotundi quod generatur rotatione curvæ $amz$ circa axem $AZ$ debeat esse maxima vel minima, erit $W = \int ydx \sqrt{(1+pp)}$; atque