Methodus inveniendi lineas curvas

AD CURVAS INVENIENDAS APPLICATA. 17 atque ita porro quæcunque formula debeat in curva quæsita esse maxima vel minima, ea semper erit hujus formæ $\int Zdx$, scilicet integrale quantitatis finitæ cujusdam $Z$ in differentiale $dx$ ductæ. Debet autem $Z$ ejusmodi esse quantitas, ut si æquatio statuatur inter $x$ & $y$, integrale $\int Zdx$ determinatum obtineat valorem: ex quo $Z$ erit functio quantitatum $x, y$, & inde pendentium $p, q, r, \&c.$ vel algebraïca sive determinata, vel præterea ipsa in se complectetur formulas integrales indeterminatas; quod discrimen probe est tenendum. Ita si maximi minimive formula $W$ fuerit $\int ydx$, vel $\int ydx\sqrt{(1+pp)}$; quantitas $Z$ erit algebraïca, at si fit $W=\int yxdx\int ydx$, tum erit $Z=yx\int ydx$, hoc est ipsa quantitas $Z$ erit indeterminata, cujus valor nisi relatio inter $x$ & $y$ detur, exhiberi nequit. Quin etiam evenire potest, ut valor ipsius $Z$ hujusmodi formula evoluta exprimi nequeat, sed tantum per æquationem differentialem demum erui debeat, ut si fuerit $dZ=ydx+ZZdx$; ex qua æquatione valor ipsius $Z$ per $x$ & $y$ nequidem exhiberi potest. Hinc igitur tria nascuntur genera formularum $\int Zdx$, quæ in curvis quæsitis maxima vel minima fieri debent. Quorum primum eas complectitur formulas, in quibus $Z$ est functio algebraïca seu determinata ipsarum $x, y, \& p, q, r, \&c.$ Ad secundum genus referimus eas formulas, in quibus quantitas $Z$ ipsa insuper formulas integrales involvit. In tertio autem genere continentur eæ formulæ, in quibus valor ipsius $Z$ per æquationem differentialem cujus integratio non constat determinatur. PROPOSITIO II. THEOREMA. 38. Si fuerit $amz$ curva, in qua valor formulæ $\int Zdx$ sit maximus vel minimus, atque $Z$ sit functio algebraïca seu determinata ipsarum $x, y, p, q, r, \&c.$ tum ejusdem curvæ quæcunque portio $mn$ eadem gaudebit prærogativa, ut pro ea ad suam abscissam $MN$ relata, valor ipsius $\int Zdx$ sit pariter maximus vel minimus. Euler De Max. & Min. C DE-