Methodus inveniendi lineas curvas

18 DE METHODO MAX. ET MIN. DEMONSTRATIO. Valor formulæ $\int Zdx$ pro abscissa AZ est aggregatum omnium valorum ejusdem formulæ, qui singulis abscissæ AZ portionibus respondent. Quod si ergo abscissa AZ in partes quotcunque, quarum una sit MN, divisa concipiatur, atque ad singulas partes hasce valor formulæ $\int Zdx$ exhibeatur; summa omnium horum valorum præbebit valorem formulæ $\int Zdx$, qui toti abscissæ AZ convenit; & qui erit maximus vel minimus. Quoniam autem Z ponitur functio algebraica ipsarum $x, y, p, q, \&c.$ valor formulæ $\int Zdx$ respondens abscissæ portioni MN, a sola portionis curvæ respondentis mn indole pendebit, idemque manebit, utcunque reliquæ partes am & nz varientur; singularum enim litterarum $x, y, p, q, \&c.$ valores per solam curvæ portionem mn determinantur. Si ergo formulæ $\int Zdx$ valores, qui conveniunt abscissæ portionibus AM, MN, NZ, ponantur $P, Q, \& R$, quantitates hæ $P, Q, \& R$, a se mutuo non pendebunt. Quare cum earum aggregatum $P+Q+R$ fit maximum vel minimum, etiam unaquaque maximi minimive proprietate prædita fit necesse est. Hanc ob rem, si in curva amz formula $\int Zdx$ maximum minimumve habeat valorem, & quantitas Z sit functio algebraica ipsarum $x, y, p, q, \&c.$ tum etiam, pro qualibet illius curvæ portione, eadem formula $\int Zdx$ maximi minimive proprietate gaudebit. Q. E. D. COROLL. I. 39. Quod si ergo curva fuerit inventa amz, quæ pro abscissa data AZ, habeat valorem formulæ $\int Zdx$ maximum vel minimum, atque Z sit functio algebraica seu determinata, tum etiam ejusdem curvæ quælibet portio, respectu abscissæ suæ respondentis, eadem maximi minimive proprietate gaudebit. Co-