Methodus inveniendi lineas curvas

214 DE METHODO $\int [L]Vdx$, casu $x=a$, valor erit $= H[H] - K$, & vocetur $HH - K - H/\int[L]dx + \int[L]dx/\int Ldx = W$. ita ut fit $W = H[V] - K + \int[L]dx/\int Ldx$, eritque formulæ propositæ $\int Zdx$ valor differentialis $= nv. dx (N + [N]V + [n]W - \frac{d(P+[P]V+[p]W)}{dx} + \frac{dd(Q+[Q]V+[q]W)}{dx^2} - \&c.)$. Quod si jam ad hunc valorem differentialem addatur præcedens per quantitatem constantem arbitrariam $\alpha$ multiplicatus, summaque ponatur $=0$, prodibit æquatio pro curva quæsita hæc: $0 = N + [N](\alpha+V) + [n](\alpha[V]+W) - \frac{1}{dx} d(P+[P](\alpha+V)+[p](\alpha[V]+W)) + \frac{1}{dx^2} dd(Q+[Q](\alpha+V)+[q](\alpha[V]+W)) - \&c.$ Eft vero hic $\alpha+V = \alpha+H - \int Ldx$; unde si ponatur $\alpha+H = C$, erit $C$ constans arbitraria, & $\alpha+V = C - \int Ldx$, atque $\alpha[V]+W = C[H] - K - C\int [L]dx + \int [L]dx \int Ldx$. Hoc igitur pacto, pervenietur ad curvam quæsitam, in cujus æquatione, quia ob $[H]$ & $K$ adhuc inest constans data $a$, ea quæsito satisfaciet tantum pro proposita abscissa $x=a$. Quod si autem formularum ambarum altera ad Casum 4, altera ad Casum 5 pertineat, tum iterum consideratio datæ abscissæ $a$ ex calculo egreditur, eademque curva pro omni abscissa satisfaciet, id quod unico sequenti Exemplo declarasse sufficiet. EXEMPLUM V. 66. Inter omnes curvas eidem abscissæ respondentes, quæ eundem formulæ $v$ valorem recipiunt; invenire eam, in qua sit $\int \frac{dx\sqrt{1+pp}}{v}$ maximum vel minimum, existente $dv = gdx + \frac{Wdx}{\sqrt{1+pp}}$ & $W$ functione quacunque ipsius $v$. Solutio hujus Quæstionis exhibebit curvam super qua corpus descen-