Methodus inveniendi lineas curvas

228 DE METHODO $\alpha$ & $\beta$ sunt quantitates constantes quæcunque. Designémus jam istam curvam, in qua fit $\alpha A + \beta B$ maximum, littera Q, quo eam facilius fine molesta verborum descriptione indicare queamus; Nunc concipiatur alia quæcunque curva R eidem abscissæ respondens, quæ recipiat formulæ $A$ eundem valorem, quem tenet curva Q: in hac igitur curva R expressio $\alpha A + \beta B$ minorem occupabit valorem, quam in curva Q; eo quod in curva Q expressio $\alpha A + \beta B$ omnium maximum valorem sortitur. Quare cum in curvis Q & R expressio $A$ eundem obtineat valorem, atque in Q expressio $\alpha A + \beta B$ major sit quam in curva R; sequitur in curva Q valorem expressionis $B$ majorem esse debere quam in curva R. Cum igitur R curvam quamcunque denotet, quæ cum Q communem valorem formulæ $A$ recipiat; manifestum est inter omnes has curvas R curvam Q esse illam, in qua formula $B$ maximum habeat valorem. Ex quibus conficitur, eam curvam, quæ inter omnes omnino curvas habeat expressionis $\alpha A + \beta B$ valorem maximum vel minimum, eandem curvam simul ita esse comparatam, ut inter omnes alias curvas secum eadem communi proprietate $A$ gaudentes possideat maximum minimumve valorem expressionis $B$. Quanquam enim Demonstratio tantum ad maximum est adornata, tamen eadem, translatis verbis, ad minimum accommodabitur. Q. E. D. COROLL. I. 2. Vicissim itaque intelligitur, si curva debeat investigari; quæ inter omnes alias eadem communi proprietate $A$ præditas expressionem $B$ sit habitura maximum vel minimum; tum quæstito satisfieri, si absolute inter omnes curvas ea definiatur, in qua sit $\alpha A + \beta B$ maximum vel minimum. COROLL. II. 3. In solutionem igitur hujusmodi Problematum binæ novæ ingrediuntur constantes arbitrariæ $\alpha$ & $\beta$, quæ in ipsis expressionibus