Methodus inveniendi lineas curvas

MAX. ET MIN. RELATIVA. 231 habeat valorem $\alpha A+\beta B+\gamma C$ maximum vel minimum; atque concipiatur alia quæcunque curva $R$, in qua, cum expressio $A$, tum $B$, eundem obtineat valorem quem obtinet in curva $Q$; quo posito expressio composita $\alpha A+\beta B$ eundem habebit valorem in utraque curva $Q$ & $R$. Hanc ob rem, expressio tota $\alpha A+\beta B+\gamma C$ in curva $R$ minorem fortietur valorem quam in curva $Q$, siquidem $\alpha A+\beta B+\gamma C$ in curva $Q$ est maximum; contra expressionis $\alpha A+\beta B+\gamma C$ valor in curva $R$ major erit quam in curva $Q$, si $\alpha A+\beta B+\gamma C$ in curva $Q$ fuerit minimum. Cum igitur expressionis portio $\alpha A+\beta B$ utrique curvæ $Q$ & $R$ sit communis, reliqua portio $\gamma C$, atque adeo expressio $C$, in casu maximi major erit in $Q$ quam in $R$, in casu minimi autem expressio $C$ in curva $Q$ minor erit quam in curva $R$. Ex quibus sequitur, si curva $Q$ inter omnes omnino curvas, habuerit valorem expressionis $\alpha A+\beta B+\gamma C$ maximum vel minimum, tum simul hanc curvam $Q$ ea indole esse præditam, ut inter omnes curvas $R$ quæ eodem valore cum expressionis $A$ tum expressionis $B$ gaudeant, contineat valorem expressionis $C$ maximum vel minimum. Q. E. D. COROLL. I. 8. Quoniam expressiones $A, B$ & $C$ pro lubitu inter se commutari possunt; curva in qua est $\alpha A+\beta B+\gamma C$ maximum vel minimum, ea simul vel, inter omnes curvas iisdem proprietatibus $A$ & $B$ communibus gaudentes, habebit $C$ maximum vel minimum; vel habebit $B$ maximum minimumve, inter omnes curvas quæ proprietatibus $A$ & $C$ communibus gaudebunt; vel denique habebit $A$ maximum minimumve, inter omnes curvas in quas ambæ proprietates $B$ & $C$ æque competunt. COROLL. II. 9. Quæ igitur curva, inter omnes iisdem binis proprietatibus $A$ & $B$ communibus gaudentes, habet $C$ maximum minimum.