Methodus inveniendi lineas curvas

ca, ejusque ope solvetur Problema quo figura lintei DAD vasi BDDB in punctis DD annexi investigatur, quam induit, si vasi data aquæ copia infundatur. Primo enim dum linteum extensionem non admittit, longitudo curvæ DAD erit data, deinde etiam spatium NDADN, quo quantitas aquæ infusæ mensuratur, erit data: ac tertio, secundum generales Hydrostaticæ & gravitationis leges, figuram DAD ita comparatam esse oportet, ut spatii NDADN centrum gravitatis infimum occupet locum. Ad hoc Problema resolvendum, ponatur DC $= CD = a$, & ducta horizontali quacunque MPM, fit MP $= PM = x$, & $AP = y$, erit arcus MAM $= 2\int dx\sqrt{(1+pp)}$, posito $dy = pdx$. Quod si jam longitudo curvæ DAD ponatur $= 2b$; æquatio inter $x$ & $y$ ita debet esse comparata, ut formula integralis $\int dx \sqrt{(1+pp)}$ fiat $= b$, posito $x = a$. Porro area MAM fit $= 2\int xdy = 2\int xpdx$; quæ fiat $= 2ff$, casu quo ponitur $x = a$; ita ut tum fit $\int xpdx = ff$. Hæc vero area non ipsa est data, sed ea cum area NDDN datum spatium producere debet quod fit $= 2cc$. Si igitur ponatur $DN = z$, erit $az + ff = cc$, & $z = \frac{cc-ff}{a} = \frac{cc-\int xpdx}{a}$, posito $x = a$. Denique centrum gravitatis totius spatii NDADN a puncto A distabit intervallo $= \frac{\int xypdx + az(AC+\frac{1}{2}z)}{cc}$, posito post integrationem $x = a$; infra punctum C igitur centrum gravitatis situm erit intervallo $= \frac{AC(cc-az) - \frac{1}{2}azz - \int xypdx}{cc}$, quod debet esse maximum. Cum vero fit $z = \frac{cc-\int xpdx}{a}$; maximum esse debebit hæc forma $AC\int xpdx - \frac{c^4}{2a} + \frac{cc\int xpdx}{a} - \frac{(\int xpdx)^2}{2a} - \int xypdx$. Problema itaque huc redit ut, inter omnes curvas ejusdem longitudinis datæ abscissæ $DC = a$ respondentes, definiatur ea in qua sit hæc expressio $h\int xpdx + \frac{cc}{a}\int xpdx -$