Methodus inveniendi lineas curvas

MAX. ET MIN. RELATIVA. 243 $\frac{a}{2}(\int x p dx)^2 - \int x y p dx$ maximum, existente $y=b$, posito $x=a$. Jam quia longitudo curvæ est $=\int dx \sqrt{(1+pp)}$, erit ejus valor differentialis $=-d.\frac{p}{\sqrt{(1+pp)}}$. Deinde formulæ $\int x p dx$ valor differentialis est $=-dx$, & valor differentialis formulæ $\int x y p dx = x p dx - d.xy = -y dx$. Hinc totius expressionis, quæ maximum esse debet, valor differentialis prodit $=-hdx - \frac{cc}{a}dx + \frac{ff}{a}dx + ydx$, quæ, ob $h$ & $ff$ constantes non determinatas, tranfit in hanc $kdx+ydx$; ubi $k$ est constans arbitraria. Quocirca prodibit ista æquatio pro curva quæsita $kdx+ydx = -ggd.\frac{p}{\sqrt{(1+pp)}}$; quæ, per $p$ multiplicata & integrata, dabit $m+2ky+yy = \frac{2gg}{\sqrt{(1+pp)}}$; quam curvam constat esse Elasticam, manebitque ea invariata, quemcunque valorem obtineat quantitas $cc$. Quæstioni ergo propositæ ita satisfiet, ut per data puncta D & D curva Elastica traducatur, cujus axis seu diameter orthogonalis sit recta verticalis AC, & cujus portio DAD datam obtineat longitudinem $2b$; hocque pacto, Solutio omnino erit determinata, unicaque curva satisfaciens resultabit. Quod autem quantitas spatii $NDADN=2cc$, de cujus centro gravitatis quæstio est, prorsus ex computo excesserit, id quidem facile prævidere licuisset; quo pacto, Solutio multo facilior extitisset. Verum data opera hanc conditionem, etsi inutilem, adjecimus, ut modus pateret alia istiusmodi Problemata, ubi talis reductio locum non invenit, resolvendi. SCHOLION II. 25. Sic igitur exposita est universa Methodus maximorum & minimorum indeterminata, qua linea curva quæri solet maximi minimive proprietate quapiam prædita. Istaque Methodus tota perducta est ad inventionem valorum differentialium, qui ex unius tantum applicatæ incremento oriuntur. Scilicet si Problema Hh 2