Methodus inveniendi lineas curvas

250 DE CURVIS $dy = \frac{(a+bx+\gamma xx)dx}{\sqrt{(a^4 - (a+bx+\gamma xx)^2)}}$, ex qua oritur $ds = \frac{aadx}{\sqrt{(a^4 - (a+bx+\gamma xx)^2)}}$; ex quibus aequationibus consensus hujus curvae inventae cum curva Elastica jam pridem eruta manifesto clucet. 5. Quo autem iste consensus clarius ob oculos ponatur, naturam curae Elasticae a priori quoque investigabo; quod etsi jam a Viro summo Jacobe BERNOULLIO excellentissime est factum; tamen, hac idonea occasione oblata, nonnulla circa indolem curvarum Elasticarum, earumque varias species & figuras adjiciam; quae ab aliis vel praetermissa, vel leviter tantum pertractata esse video. Fig. 3. Sit lamina Elastica AB in B ita muro seu pavimento firmo infixa, ut haec extremitas B non solum firmiter retineatur, fed etiam tangentis in B positio determinetur. In A autem lamina connexam habeat virgam rigidam AC, cui normaliter applicata fit vis $CD=P$, qua lamina in statum incurvatum BMA redigatur. Sumatur haec recta AC producta pro axe, ac, posita $AC=c$, fit abscissa $AP=x$, applicata $PM=y$. Quod si jam lamina in M omnem elasticitatem subito amitteret, ac perfecte flexilis evaderet; a vi P utique inflecteretur, inflexione proficiscente a vis P momento $= P(c+x)$. Quominus ergo haec inflexio actu sequatur, elasticitas laminae in M in aequilibrio consistit cum vis sollicitantis momento $P(c+x)$. Elasticitas autem primo ab indole materiae ex qua lamina constat, & quam ubique eandem statuo, pendet; tum vero simul ab incurvatione laminae in puncto M, ita ut sit reciproce proportionalis radio osculi in M. Sit ergo radius osculi in $M=R = \frac{ds^3}{-dxddy}$; existente $ds=\sqrt{(dx^2+dy^2)}$ & $dx$ constante; atque exprimat $\frac{Ekk}{R}$ vim Elasticam laminae in M, quae cum momento vis sollicitantis $P(c+x)$ in aequilibrio consistat, ita ut fit $P(c+x) = \frac{Ekk}{R} = \frac{-Ekkdxddy}{ds^3}$. Aequatio haec per