Methodus inveniendi lineas curvas

256 DE CURVIS per intervallum $c/b$ promoto, & pro $a^4/y$ scribendo $aa$, seu ponendo $y=1$, accipiet hanc formam simpliciorem: $dy = \frac{(a+xx)dx}{\sqrt{(a^4-(a+xx)^2)}}$. Quia vero est $a^4-(a+xx)^2 = (aa-a-xx)(aa+a+xx)$; ponatur $aa-a=cc$, ut fit $a=aa-cc$, atque aequatio transibit in hanc formam $dy = \frac{(aa-cc+xx)dx}{\sqrt{(cc-xx)(2aa-cc+xx)}}$. Qua aequatione expri- Fig. 6. matur natura curae AMC, posita abscissa $AP=x$, & applicata $PM=y$. Cum ergo fit $c=0$, directio vis laminam Elasticam incurvans erit ad axem AP in ipso puncto A normalis, ideoque AD repraesentabit directionem vis sollicitantis, quae vis ipsa erit $= \frac{2Ekk}{aa}$, exprimente $Ekk$ elasticitatem absolutam. 16. Si ponatur $x=0$, erit $\frac{dy}{dx} = \frac{aa-cc}{c\sqrt{(2aa-cc)}}$; quae expressio praebet tangentem anguli quem curva AM in A cum axe AP constituit; cujus anguli sinus erit $= \frac{aa-cc}{aa}$. Quare si fuerit $aa=\infty$, lamina in puncto A erit normalis ad avem AP, nullamque habebit curvaturam, propterea quod vis incurvans $\frac{2Ekk}{aa}$ evanescit. Casu ergo quo $a=\infty$, prodit lamina figura naturalis, hoc est linea recta: quae ergo primam speciem linearum Elasticarum constituit, quam repraesentabit recta AB utrimque in infinitum producta. 17. Antequam reliquas species enumeremus, conveniet in genere circa figuram Elasticae quasdam observationes instituere. Intelligitur autem angulus PAM, quem curva in A cum axe AP constituit, decrescere, quo minor evadat quantitas $aa$, hoc est quo magis vis incurvans $\frac{2Ekk}{aa}$ intendatur. Atque si evadat $aa=cc$, tum axis AP ipse curvam in A tanget. Quod si autem fuerit $aa<cc$, tum curva AM, quae adhuc deorsum excurrebat, nunc sursum verget, quoad fiat $aa=\frac{1}{2}cc$; quo casu tangens