Methodus inveniendi lineas curvas

ELASTICIS. 257 tangens curvæ in rectam Ab incidet. At si fiat $a a < \frac{1}{2} c c$, tum angulus PAM prorsus fiet imaginarius, ideoque in A nulla existet curvæ portio, qui diversi casus specierum varietatem constituunt. 18. Ex æquatione porro intelligitur, quia formam suam non mutat, si coordinatæ $x$ & $y$ ambæ negativæ statuantur, curvam circa A ramos habere similes & æquales AMC & Amc alternatim dispositos; ita ut in A sit punctum flexus contrarii; unde cognita curvæ portione AMC, simul ejus continuatio Amc ultra A cognoscetur, quippe quæ illi est similis & æqualis. Sic sumpta $Ap = AP$, erit quoque $pm = PM$. Recedendo autem ab A, curva utrimque magis ab axe reclinatur, donec sumpta abscissa $AE = c$, applicata EC curvam tangat; namque posito $x = c$, fit $\frac{dy}{dx} = \infty$. Perspicuum autem est abscissam $x$ ultra $AE = c$ excrescere non posse; alioquin enim fieret $\frac{dy}{dx}$ imaginarium; hinc ergo tota curva continebitur inter applicatas extremas EC & ec, ultra quos cancellos egredi non queat. Jam ergo generatim cognitos habemus binos curvæ ramos AC & Ac utrimque ab A usque ad cancellos protensos. 19. Videamus ergo quonam cursu curva ultra C & c progrediatur. Hunc in finem sumamus rectam CD ipsi AE parallelam pro axe, ac ponamus has novas coordinatas $CQ = t$, $QM = u$; eritque $t + x = AE = CD = c$; & $y + u = CE = AD = b$; unde fit $x = c - t$ & $y = b - u$, seu $dy = -du$. His valoribus substitutis, orietur æquatio pro curva inter coordinatas $CQ = t$ & $QM = u$, quæ erit $du = \frac{(a a - 2 c t + t t) dt}{\sqrt{t(2c-t)} (2aa - 2ct + tt)}$. Hic primum patet, si sumatur $t$ infinite parvum, fore $du = \frac{a a dt}{2a\sqrt{ct}}$, ideoque $u = a\sqrt{\frac{t}{c}}$; quæ æquatio indicat curvam ultra C simili modo ver- Euleri De Max. & Min. Kk