Methodus inveniendi lineas curvas

207 DE METHODO MAX. ET MIN. mulæ integrales indeterminatæ. Valores enim quantitatum $x, y, p, q, r,$ &c. qui pro arcu curvæ $mn$ obtinent, tantum a positione elementorum hujus arcus $mn$, atque elementis aliquot contiguis quæ arcum finitæ quantitatis non constituunt pendent; ex quo etiam quantitas ex iis litteris utcunque composita per solam arcus $mn$ indolem determinabitur, nisi adfuerint quantitates integrales, cujusmodi sunt $\int y dx$, quæ totam arcam anteriorem $A a m M$ introduceret, vel $\int dx \sqrt{(1+pp)}$, quæ totum arcum præcedentem $am$ involveret. Hinc igitur distinctius intelligitur, quid per functionem determinatam ipsarum $x, y, p, q, r,$ &c. denotare velimus: Functio scilicet determinata ita est comparata, ut, pro quovis loco, a præsentibus valoribus litterarum $x, y, p, q,$ &c. tantum pendeat, neque valores earum anteriores in se complectatur. Functio autem indeterminata est talis, cujus valor in quovis loco, non ex solis valoribus quos hæ litteræ $x, y, p, q,$ &c. in isto loco obtinent determinari potest, sed insuper omnes valores ad sui determinationem requirit, quos istæ litteræ in omnibus locis anterioribus obtinuerunt. Ita patet, omnes functiones algebraicas esse simul determinatas; præterea vero etiam omnes functiones transcendentes, quæ a relatione inter $x$ & $y$ non pendent funt determinatæ, cujusmodi funt, $l\sqrt{(xx+yy)}$, $e^{py}$, $\text{A sin. } \frac{p}{q}$; quarum valores in quovis loco ex valoribus litterarum, quos in hoc solo loco obtinent, assignari possunt. Quando autem in functione quapiam insunt formulæ integrales indeterminatæ, quæ a mutua relatione inter $x$ & $y$, quam ubique tenent, pendent, tum earum valor, in dato loco, non ex valoribus, quos hæ litteræ in isto loco habent, cognosci potest, sed insuper omnes valores in locis quibusque anterioribus nosse oportet, hoc est generalem relationem inter coordinatas $x$ & $y$: talesque functiones vocamus indeterminatas; quippe quæ toto cœlo diversæ sunt ab iis, quas determinatas appellavimus. PRO-