Methodus inveniendi lineas curvas

AD CURVAS INVENIENDAS APPLICATA. 21 PROPOSITIO III. THEOREMA. 43. Si fuerit $amz$ curva abscissae $AZ$ respondens, in qua $\int Zdx$ fit maximum vel minimum, in $Z$ autem contineantur formulae integrales indeterminatae; tum eadem maximi minimive proprietas non cadit in quamlibet curvae portionem, sed toti tantum curvae abscissae $AZ$ respondenti propria erit. DEMONSTRATIO. Concipiatur tota curva $amz$, pro qua $\int Zdx$ est maximum vel minimum, in duas partes quasque divisa per applicatam $Mm$; fitque formulae $\int Zdx$ valor conveniens portioni $am$ $= P$, ejusdem autem formulae valor pro altera portione $mz$ fit $= Q$: pro tota igitur curva $amz$ valor formulae $\int Zdx$ erit $= P+Q$, quem ponimus esse maximum vel minimum. Quo autem omnem ambiguitatem tollamus, totamque rem distinctius proponere queamus; ponamus $P+Q$ esse maximum: quod enim de maximo demonstrabitur, idem de minimo facile intelligetur. Quod si jam valor ipsius $Q$ a valore ipsius $P$ non penderet, tum aggregatum $P+Q$ maximum esse non posset, nisi simul uterque valor $P$ & $Q$ seorsim fit maximus. At nostro casu, quo quantitas $Z$ in se continet formulas integrales indeterminatas, valor ipsius $Q$ non tantum a curvae portione $mz$ ad quam refertur pendebit, sed simul a tota curva anteriore $am$; atque adeo a valore ipsius $P$. Nunc dicimus, ad id ut $P+Q$ fit maximum, non requiri, ut valor ipsius $P$ fit maximus. Ponamus enim portionem curvae $am$ ita esse comparatam, ut pro ea $P$ fit maximum, & aliquantillum mutari concipiatur portio curvae $am$, ita ut valor formulae $\int Zdx$ minor evadat, puta $= P-p$: fieri utique poterit ut ex hac mutatione valor ipsius $Q$ crescat, quod incrementum ponatur $q$: eritque, mutata aliquantillum portione $am$, ita ut pro ea $\int Zdx$ non amplius fit maximum, valor formulae $\int Zdx$ pro tota curva $amz$ $= P-p+Q+q$. Cum igitur evenire queat ut fit $q>p$, intelligitur formulam $C~3$